Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cách 1.

Media VietJack

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có $\{\begin{cases} IM ∥ AB \\ IN ∥ CD \end{cases} \Rightarrow$ $\hat{(AB, CD)} = \hat{(IM, IN)}$

Đặt $\hat{MIN} = α$ , xét tam giác IMN có $IM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2},$ $IN = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2},$ $MN = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Theo định lí côsin, ta có

$cosα = \frac{{IM}^{2} + {IN}^{2} - {MN}^{2}}{2 IM . IN}$ $= \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2 . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}}$ $= - \frac{1}{2} < 0$

$\Rightarrow \hat{MIN} = 120^{0}$ suy ra $\hat{(AB, CD)} {=60}^{0}$ .

Cách 2.

$\cos \hat{(AB, CD)} = \cos \hat{(IM, IN)}$ $= \frac{|\vec{IM} . \vec{IN}|}{|\vec{IM}| |\vec{IN}|}$

$\vec{MN} = \vec{IN} - \vec{IM} \Rightarrow$ ${\vec{MN}}^{2} = {(\vec{IN} - \vec{IM})}^{2}$ $= {IM}^{2} + {IN}^{2} - 2 \vec{IN} . \vec{IM}$

$\vec{IN} . \vec{IM} = \frac{{IM}^{2} + {IN}^{2} - {MN}^{2}}{2} = - \frac{a^{2}}{8}$

$\cos \hat{(AB, CD)} = |\cos \hat{(IM, IN)}|$ $= \frac{|\vec{IM} . \vec{IN}|}{|\vec{IM}| |\vec{IN}|} = \frac{1}{2}$

Vậy $\hat{(AB, CD)} {=60}^{0}$ .

...Xem thêm

Answer 2