Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 °$ .

Media VietJack

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

$\vec{M K} + \vec{M G} = \vec{M A}; \vec{M H} + \vec{M J} = \vec{M B}; \vec{M I} + \vec{M L} = \vec{M C}$ . (1)

Ta có: MH // AB $\Rightarrow \hat{M H L} = \hat{B} = 60 °$ (đồng vị)

ML // AC $\Rightarrow \hat{M L H} = \hat{C} = 60 °$ (đồng vị)

Tam giác MHL có $\hat{M H L} = \hat{M L H} = 60 °$ nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: $\vec{M H} + \vec{M L} = 2 \vec{M D}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\vec{M K} + \vec{M J} = 2 \vec{M F}$ ; $\vec{M G} + \vec{M I} = 2 \vec{M E}$ .

Do đó: $2 \vec{M D} + 2 \vec{M E} + 2 \vec{M F} = \vec{M H} + \vec{M L} + \vec{M G} + \vec{M I} + \vec{M K} + \vec{M J}$

$= (\vec{M K} + \vec{M G}) + (\vec{M H} + \vec{M J}) + (\vec{M I} + \vec{M L})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

Do đó: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = 3 \vec{M O}$

Suy ra $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

...Xem thêm

Answer 2