Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} = \vec{M G} + \vec{G A}$ , $\vec{M B} = \vec{M G} + \vec{G B}$ , $\vec{M C} = \vec{M G} + \vec{G C}$ .

Khi đó:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = (\vec{M G} + \vec{G A}) + (\vec{M G} + \vec{G B}) + (\vec{M G} + \vec{G C})$

$= 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$ $= 3 \vec{M G} + \vec{0} = 3 \vec{M G}$ .

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ , ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M G} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{M A} - \vec{M G}) + (\vec{M B} - \vec{M G}) + (\vec{M C} - \vec{M G}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

...Xem thêm

Answer 2