Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{a^{1} + b^{1}}{2} = \frac{a + b}{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{1} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{a^{k} + b^{k}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{k} .$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{k + 1} .$

Ta có:

Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk

=> (ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)

=> 2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)

$\Rightarrow \frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq \frac{(a + b)}{2} . \frac{(a^{k} + b^{k})}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{k + 1} + b^{k + 1}}{2} \geq \frac{a + b}{2} . \frac{a^{k} + b^{k}}{2} \geq \frac{a + b}{2} . {(\frac{a + b}{2})}^{k} = {(\frac{a + b}{2})}^{k + 1} .$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

...Xem thêm

Answer 2