Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d1 : $y = - \frac{b}{a} x$ hay bx + ay = 0 và d2 : $y = \frac{b}{a} x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d1) = $\frac{|b x + a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ , d(M, d2) = $\frac{|b x - a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ .

$\Rightarrow$ d(M, d1).d(M, d2) = $\frac{|b x + a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} . \frac{|b x - a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{|{(b x)}^{2} - {(a y)}^{2}|}{a^{2} + b^{2}}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2} b^{2} - a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = 1$

$\Rightarrow {(b x)}^{2} - {(a y)}^{2} = a^{2} b^{2}$

Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = $\frac{|a^{2} b^{2}|}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

...Xem thêm

Answer 2