Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

+) Khi n = 1, ta có: 1 = $\frac{1 - q}{1 - q} = \frac{1 - q^{1}}{1 - q} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1} = $\frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} = $\frac{1 - q^{k}}{1 - q} .$

Khi đó:

1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1}

= (1 + q + q² +... + q^{k – 1}) + q^{(k + 1) – 1}

= $\frac{1 - q^{k}}{1 - q}$ + q^{(k + 1) – 1}

= $\frac{1 - q^{k}}{1 - q}$ + q^k

^{$= \frac{1 - q^{k}}{1 - q} + \frac{q^{k} (1 - q)}{1 - q}$}

^{$= \frac{1 - q^{k}}{1 - q} + \frac{q^{k} - q^{k + 1}}{1 - q}$}

^{$= \frac{(1 - q^{k}) + (q^{k} - q^{k + 1})}{1 - q}$}

^{$= \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q} .$}

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

...Xem thêm

Answer 2