Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) $S_{1} = 1 + \frac{1}{2^{1}} = \frac{3}{2}, S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{7}{4}, S_{2} = 1 + \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} = \frac{15}{8} .$

$T_{1} = 2 - \frac{1}{2^{1}} = \frac{3}{2}, T_{2} = 2 - \frac{1}{2^{2}} = \frac{7}{4}, T_{3} = 2 - \frac{1}{2^{3}} = \frac{15}{8} .$

Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.

b) Ta dự đoán S_n = T_n với n $\in$ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.

Khi đó:

$S_{k + 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$

$= S_{k} + \frac{1}{2^{k + 1}} = T_{k} + \frac{1}{2^{k + 1}} = (2 - \frac{1}{2^{k}}) + \frac{1}{2^{k + 1}}$

$= 2 - (\frac{1}{2^{k}} - \frac{1}{2^{k + 1}}) = 2 - (\frac{2}{2^{k + 1}} - \frac{1}{2^{k + 1}})$

$= 2 - \frac{1}{2^{k + 1}} = T_{k + 1} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Vậy S_n = T_n = $2 - \frac{1}{2^{n}}$ với n $\in$ ℕ^*.

...Xem thêm

Answer 2