Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) S1 = $\frac{1}{1 (1 + 1)} = \frac{1}{2},$ S2 = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{2}{3},$ S3 = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} = \frac{3}{4} .$

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn = $\frac{n}{n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có S1 = $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: Sk = $\frac{k}{k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Sk + 1 = $\frac{k + 1}{(k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

Sk + 1 = $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{(k + 1) [(k + 1) + 1]}$

= Sk + $\frac{1}{(k + 1) [(k + 1) + 1]}$

= \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1) [(k + 1) + 1]}

= \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k (k + 2) + 1}{(k + 1) (k + 2)}

= \frac{k^{2} + 2 k + 1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2} = \frac{k + 1}{(k + 1) + 1} .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

...Xem thêm

Answer 2