Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

+) Ta có:

$C_{n}^{k} \leq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{n!}{k! (n - k)!} \leq \frac{n!}{(k + 1)! (n - k - 1)!}$

$\Leftrightarrow (k + 1)! (n - k - 1)! \leq k! (n - k)!$

$\Leftrightarrow k + 1 \leq n - k \Leftrightarrow 2 k \leq n - 1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $(*) \Leftrightarrow k \leq \frac{n - 1}{2} .$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n - 1}{2} .$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n - 1}{2}} \leq C_{n}^{\frac{n + 1}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k = \frac{n - 1}{2} .$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n - 1}{2}}$ và $C_{n}^{\frac{n + 1}{2}}$ .

– Nếu n chẵn thì $(*) \Leftrightarrow k \leq [\frac{n - 1}{2}] = \frac{n}{2} - 1.$ Từ đây ta có $C_{n}^{k} \geq C_{n}^{k + 1} \Leftrightarrow k \geq \frac{n}{2} - 1.$

$\Rightarrow C_{n}^{0} \leq C_{n}^{1} \leq ... \leq C_{n}^{\frac{n}{2}} \leq ... \leq C_{n}^{n} .$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_{n}^{\frac{n}{2}}$ .

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

$\Rightarrow C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 4096 \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Rightarrow n = 12$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^{6} = 924.$

...Xem thêm

Answer 2