Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) $S_{1} = \frac{1}{1.3} = \frac{1}{3}, S_{2} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} = \frac{2}{5}, S_{3} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} = \frac{3}{7} .$

b) Từ a) ta có thể dự đoán $S_{n} = \frac{n}{2 n + 1} .$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có $S_{1} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2.1 + 1} .$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: $S_{k} = \frac{k}{2 k + 1} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \dots + \frac{1}{(2 k - 1) (2 k + 1)} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{[2 (k + 1) - 1] [2 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{2 k + 1} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{k (2 k + 3) + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

$= \frac{2 k^{2} + 3 k + 1}{(2 k + 1) (2 k + 3)}$

= \frac{(k + 1) (2 k + 1)}{(2 k + 1) (2 k + 3)} = \frac{k + 1}{2 k + 3} = \frac{k + 1}{2 (k + 1) + 1} .

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

...Xem thêm

Answer 2