Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}$ mà theo hệ quả định lí côsin cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2. b . c}$ ;

Vì $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ ⇒ sinA = $\frac{2 S}{b c}$

Do đó cotA = $\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{\frac{2 S}{b c}} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}$

Tương tự, ta có : cotB = $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$ ; cotC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$ ;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}$ + $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$ + $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$ = $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}$

Mặt khác S = $\frac{a b c}{4 R}$ (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC =

$\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4. \frac{a b c}{4 R}} = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Vậy cotA + cotB + cotC = $\frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

...Xem thêm

Answer 2