Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: (ảnh 1)

a) $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0$

Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{0}$

$\hat{A M C} = 180^{0} - \hat{A M B}$

$c o s \hat{A M B} = - c o s (180^{0} - \hat{A M B}) = - c o s \hat{A M C}$

$\Rightarrow c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = - c o s \hat{A M C} + c o s \hat{A M C} = 0$

b) Xét ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$

⇔ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ (1)

Xét ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

⇔ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$ (2)

c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC²

= 2MA.MB.cos $\hat{A M B}$ + 2MA.MC.cos $\hat{A M C}$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - A B^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - A C^{2} = 2 M A . \frac{B C}{2} . c o s \hat{A M B} + 2 M A . \frac{B C}{2} . c o s \hat{A M C}$

(Vì $M B = M C = \frac{B C}{2}$ )

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - A B^{2} - A C^{2} = 2 M A . \frac{B C}{2} . (c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - A B^{2} - A C^{2} = 0$ (vì $c o s \hat{A M B} + c o s \hat{A M C} = 0$ )

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = \frac{2 A B^{2} + 2 A C^{2} - B C^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

...Xem thêm

Answer 2