a) Giả sử hàm số có dạng: h = at² + bt + c, trong đó h là độ cao, t là thời gian, a, b, c là các hằng số cần tìm với a ≠ 0.

Quỹ đạo của quả bóng là một parabol đi qua điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: c = 0,2.

Khi đó: h = at² + bt + 0,2

Lại có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và 6 m sau 2 giây, do đó quỹ đạo của bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ (1; 8,5) và (2; 6).

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}a+b+\mathrm{0,2}=\mathrm{8,5}\\ 2^2.a+b.2+\mathrm{0,2}=6\end{array}\right.$

Giải hệ trên ta được: a = – 5,4, b = 13,7 .

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là: h = – 5,4t² + 13,7t + 0,2.

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0.

Hay – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn t.

Tam thức bậc hai – 5,4t² + 13,7t + 0,2 có hai nghiệm t₁ =$\frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}$ , $t_2=\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$ .

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

$\iff \frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$

Lại có: thời gian t > 0

Do đó:$0<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$

Mà $\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}\approx \mathrm{2,55}$

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.