Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. a) Chứng minh: OA . OD = OB . OC. (ảnh 1)

a) Ta có AB // CD, áp dụng định lý Ta-let: $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ .

Do đó: OA . OD = OB . OC (đpcm).

b) Từ câu a suy ra: $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D} = \frac{A B}{C D}$

$\Leftrightarrow \frac{O A}{6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow O A = \frac{6}{2} = 3$ (cm).

Do OE // DC nên theo hệ quả định lí Ta-let:

$\frac{A E}{A C} = \frac{A O}{A C} = \frac{E O}{D C}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{3 + 6} = \frac{E O}{10}$

$\Leftrightarrow E O = \frac{3 . 10}{9} = \frac{10}{3}$ (cm).

Vậy OA = 3 cm, $E O = \frac{10}{3}$ cm.

c) Do OE // AB, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: $\frac{O E}{A B} = \frac{D E}{D A}$ (1)

Do OE // CD, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: $\frac{O E}{D C} = \frac{A E}{D A}$ (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được: $\frac{O E}{A B} + \frac{O E}{D C} = \frac{D E}{D A} + \frac{A E}{D A} = 1$ .

Suy ra $O E (\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D}) = 1$ hay $\frac{1}{O E} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{C D}$ (*)

Chứng minh tương tự, ta có: $\frac{1}{O G} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{D C}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\frac{1}{O E} = \frac{1}{O G} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{C D}$ (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2