Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6, AC = 8; đường cao AH, phân giác BD. Gọi I là giao điểm của AH và BD. a) Tính AD, DC. b) Chứng minh IH/IA=AD/DC . c) Chứng minh AB.BI = BD.HB và tam giác AID cân. (ảnh 1)

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10 (c m)$

Ta có AD là tia phân giác $\hat{A B C}$ , theo tính chất tia phân giác của tam giác:

$\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}$ $\Rightarrow \frac{A D}{D C + A D} = \frac{A B}{B C + A B}$

$\Leftrightarrow \frac{A D}{A C} = \frac{A B}{B C + A B}$ .

Thay số, ta được: $\frac{A D}{8} = \frac{6}{10 + 6} \Rightarrow A D = \frac{6 . 8}{10 + 6} = 3 (c m)$ .

Þ DC = AC – AD = 8 – 3 = 5 (cm)

Vậy AD = 3 cm, DC = 5 cm.

b) Xét DHBA và DABC có:

$\hat{A H B} = \hat{B A C} = 90^{o}$

$\hat{B A H} = \hat{A C B}$ (cùng phụ $\hat{A B C}$ ).

Do đó DHBA DABC (g.g)

Suy ra: $\frac{H B}{A B} = \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C}$ $\Rightarrow \frac{H B}{A B} = \frac{A D}{D C}$ (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác $\hat{A B H}$ , áp dụng tính chất tia phân giác, ta có:

$\frac{H B}{A B} = \frac{I H}{I A}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{I H}{I A} = \frac{A D}{D C}$ (đpcm).

c) Xét DABD và DHBI có:

$\hat{B A D} = \hat{A H B} = 90^{o}$

$\hat{A B D} = \hat{I B H}$ (vì BD là tia phân giác $\hat{A B C}$ )

Do đó DABD DHBI (g.g)

Suy ra $\frac{A B}{H B} = \frac{B D}{B I} \Leftrightarrow A B . B I = B D . H B$

Lại có DABD DHBI $\Rightarrow \hat{B I H} = \hat{A D I}$ (hai góc tương ứng)

Mà: $\hat{B I H} = \hat{A I D}$ nên $\hat{A I D} = \hat{A D I}$

Do đó DAID cân tại A.

...Xem thêm

Answer 2