Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt sử dụng các công thức liên quan đến tam giác và các tính chất hình học. Ta có tam giác $ABC$ với các cạnh $a = 12$, $b = 15$, $c = 13$.

### a) Tính số đo các góc của tam giác ABC

Sử dụng định lý cosin:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Tính từng góc:

$\cos A = \frac{15^2 + 13^2 - 12^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{225 + 169 - 144}{390} = \frac{250}{390} = \frac{50}{78} \approx 0.6410$

$\cos B = \frac{12^2 + 13^2 - 15^2}{2 \cdot 12 \cdot 13} = \frac{144 + 169 - 225}{312} = \frac{88}{312} = \frac{22}{78} \approx 0.2821$

$\cos C = \frac{12^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 12 \cdot 15} = \frac{144 + 225 - 169}{360} = \frac{200}{360} = \frac{5}{9} \approx 0.5556$

Sử dụng hàm arccos để tìm góc:

$A \approx \arccos(0.6410) \approx 50.19^\circ$
$B \approx \arccos(0.2821) \approx 73.74^\circ$
$C \approx \arccos(0.5556) \approx 56.07^\circ$

### b) Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC

Đường trung tuyến $m_a$ từ đỉnh $A$ đến trung điểm cạnh $BC$:

$m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 13^2 - 12^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 225 + 2 \cdot 169 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{450 + 338 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{644}{4}} = \sqrt{161}$

$m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 13^2 - 15^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 144 + 2 \cdot 169 - 225}{4}} = \sqrt{\frac{288 + 338 - 225}{4}} = \sqrt{\frac{401}{4}} = \sqrt{100.25}$

$m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 15^2 - 13^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 144 + 2 \cdot 225 - 169}{4}} = \sqrt{\frac{288 + 450 - 169}{4}} = \sqrt{\frac{569}{4}} = \sqrt{142.25}$

### c) Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC sử dụng công thức Heron:

$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 15 + 13}{2} = 20$

Diện tích $K$ của tam giác:

$K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{20(20-12)(20-15)(20-13)} = \sqrt{20 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{5600} = 20\sqrt{14}$

Bán kính đường tròn nội tiếp $r$:

$r = \frac{K}{s} = \frac{20\sqrt{14}}{20} = \sqrt{14}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$:

$R = \frac{abc}{4K} = \frac{12 \cdot 15 \cdot 13}{4 \cdot 20\sqrt{14}} = \frac{2340}{80\sqrt{14}} = \frac{29.25}{\sqrt{14}} = \frac{29.25\sqrt{14}}{14}$

### d) Tính độ dài đường cao $AH$ của tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng:

$K = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Độ dài đường cao $AH$:

$h_a = \frac{2K}{a} = \frac{2 \cdot 20\sqrt{14}}{12} = \frac{40\sqrt{14}}{12} = \frac{10\sqrt{14}}{3}$

Vậy các kết quả cuối cùng là:

a) Các góc của tam giác ABC:
$A \approx 50.19^\circ, B \approx 73.74^\circ, C \approx 56.07^\circ$

b) Độ dài các đường trung tuyến:
$m_a = \sqrt{161}, m_b = \sqrt{100.25}, m_c = \sqrt{142.25}$

c) Diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp:
$K = 20\sqrt{14}, r = \sqrt{14}, R = \frac{29.25\sqrt{14}}{14}$

d) Độ dài đường cao $AH$:
$h_a = \frac{10\sqrt{14}}{3}$