Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt sử dụng các công thức liên quan đến tam giác và các tính chất hình học. Ta có tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a = 12\), \(b = 15\), \(c = 13\).

### a) Tính số đo các góc của tam giác ABC

Sử dụng định lý cosin:

\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]
\[
\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}
\]
\[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]

Tính từng góc:

\[
\cos A = \frac{15^2 + 13^2 - 12^2}{2 \cdot 15 \cdot 13} = \frac{225 + 169 - 144}{390} = \frac{250}{390} = \frac{50}{78} \approx 0.6410
\]

\[
\cos B = \frac{12^2 + 13^2 - 15^2}{2 \cdot 12 \cdot 13} = \frac{144 + 169 - 225}{312} = \frac{88}{312} = \frac{22}{78} \approx 0.2821
\]

\[
\cos C = \frac{12^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 12 \cdot 15} = \frac{144 + 225 - 169}{360} = \frac{200}{360} = \frac{5}{9} \approx 0.5556
\]

Sử dụng hàm arccos để tìm góc:

\[
A \approx \arccos(0.6410) \approx 50.19^\circ
\]
\[
B \approx \arccos(0.2821) \approx 73.74^\circ
\]
\[
C \approx \arccos(0.5556) \approx 56.07^\circ
\]

### b) Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC

Đường trung tuyến \(m_a\) từ đỉnh \(A\) đến trung điểm cạnh \(BC\):

\[
m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 13^2 - 12^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 225 + 2 \cdot 169 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{450 + 338 - 144}{4}} = \sqrt{\frac{644}{4}} = \sqrt{161}
\]

\[
m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 13^2 - 15^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 144 + 2 \cdot 169 - 225}{4}} = \sqrt{\frac{288 + 338 - 225}{4}} = \sqrt{\frac{401}{4}} = \sqrt{100.25}
\]

\[
m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 15^2 - 13^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 144 + 2 \cdot 225 - 169}{4}} = \sqrt{\frac{288 + 450 - 169}{4}} = \sqrt{\frac{569}{4}} = \sqrt{142.25}
\]

### c) Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC sử dụng công thức Heron:

\[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + 15 + 13}{2} = 20
\]

Diện tích \(K\) của tam giác:

\[
K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{20(20-12)(20-15)(20-13)} = \sqrt{20 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{5600} = 20\sqrt{14}
\]

Bán kính đường tròn nội tiếp \(r\):

\[
r = \frac{K}{s} = \frac{20\sqrt{14}}{20} = \sqrt{14}
\]

Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\):

\[
R = \frac{abc}{4K} = \frac{12 \cdot 15 \cdot 13}{4 \cdot 20\sqrt{14}} = \frac{2340}{80\sqrt{14}} = \frac{29.25}{\sqrt{14}} = \frac{29.25\sqrt{14}}{14}
\]

### d) Tính độ dài đường cao \(AH\) của tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng:

\[
K = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a
\]

Độ dài đường cao \(AH\):

\[
h_a = \frac{2K}{a} = \frac{2 \cdot 20\sqrt{14}}{12} = \frac{40\sqrt{14}}{12} = \frac{10\sqrt{14}}{3}
\]

Vậy các kết quả cuối cùng là:

a) Các góc của tam giác ABC:
\[
A \approx 50.19^\circ, B \approx 73.74^\circ, C \approx 56.07^\circ
\]

b) Độ dài các đường trung tuyến:
\[
m_a = \sqrt{161}, m_b = \sqrt{100.25}, m_c = \sqrt{142.25}
\]

c) Diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp:
\[
K = 20\sqrt{14}, r = \sqrt{14}, R = \frac{29.25\sqrt{14}}{14}
\]

d) Độ dài đường cao \(AH\):
\[
h_a = \frac{10\sqrt{14}}{3}
\]