Cách tìm giao điểm của đường thẳng và Elip cực hay

A. Phương pháp giải

+ Phương trình elip có dạng:  = 1 và đường thẳng ∆: y = mx + n

+ Ta xét phương trình:  = 1 (*) . Ta có 3 trường hợp:

TH1: (*) có 2 nghiệm thì số giao điểm là 2 (đường thẳng cắt elip).

TH2: (*) có 1 nghiệm thì số giao điểm là 1 (đường thẳng tiếp xúc elip).

TH3: (*) vô nghiệm thì số giao điểm là 0 (đường thẳng và elip không có điểm chung).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 và elip ( E):  = 1.

A. M(  ;  )    B. M( -  ; -  )    C. M(  ;  )    D. M(  ;  )

Lời giải

Xét hệ phương trình:

 (*)

Giải phương trình ( *) ⇔ 4(5 - 2y)² + 9y² = 36

⇔ 100 - 80y + 16y² + 9y² = 36

⇔ 25y² – 80y + 64 = 0

⇔ y =  ⇒ x = 

Vậy đường thẳng d cắt elip ( E) tại một điểm là M(  ;  )

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho elip (E):  = 1 và đường thẳng d: x - √2y + 2 = 0 . Số giao điểm của đường thẳng d và elip ( E) là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải

Tọa độ giao điểm của elp (E) và d ( nếu có) là nghiệm của hệ:

+ Giải (*) ta được: (√2 y - 2)² + 2y² = 8

⇔ 2y² - 4√2 y + 4 + 2y² = 8

⇔ 4y² - 4√2 y - 8 = 0

phương trình trên có hai nghiệm ⇒ cho ta 2 giá trị x tương ứng.

⇒ Số giao điểm của (E) và d là 2.

Chọn C.

Ví dụ 3 : Cho Elip  = 1 : . Đường thẳng (d): x = - 4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó:

A. MN =     B. MN =     C. MN =     D. MN = 

Hướng dẫn:

Elip (E) có a² = 25; b² = 9 ⇒ c² = 25 - 9 = 16 nên c = 4

Dể thấy (d): x = - 4 là đường thẳng đi qua tiêu điểm F1( - 4; 0) của ( E) .

Do đó MN = 2MF₁ = 

Chọn C.

Ví dụ 4: Đường thẳng y = kx cắt Elip  = 1 (a > b > 0) tại hai điểm

A. đối xứng nhau qua trục Oy.    B. đối xứng nhau qua trục Ox.

C. đối xứng nhau qua gốc toạ độ O.    D. Các khẳng định trên đều sai.

Hướng dẫn

Vì (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O và hàm số y = kx là hàm số lẻ nên đồ thị của nó cũng có tâm đối xứng là O(0; 0)

⇒ đường thẳng y = kx cắt elip tại hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho elip 3x² + 4y² – 48 = 0 và đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0. Giao điểm của d và Elip là :

A. (0; - 4); (-2; -3)    B. (4; 0); (3; 2)    C. (0; 4); (-2; 3)    D. (-4; 0); (2; 3)

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình:

 (*)

Giải (*): 3( 4y² – 16y + 16) + 4y² - 48 = 0

⇔ 12y² – 48y + 48 + 4y² - 48 = 0

⇔16y² – 48y = 0

⇔ 

Vậy giao điểm của elip ( E) là ( - 4; 0) và ( 2; 3).

Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm giao điểm của đường thẳng ( d): x - y - 3 = 0 và elip ( E):  = 1.

A. (  ;  )    B. (  ;  )    C. ( 10; 7)    D. ∅

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình:

 (*)

Giải ( *) ⇔ (y + 3)² + 4y² = 4 ⇔ y² + 9y + 9 + 4y² – 4 = 0

⇔ 5y² + 9y + 5 = 0 phương trình này vô nghiệm

Vậy đường thẳng d không cắt elip (E).

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho elíp (E):  = 1 và đường thẳng d: 3x + 4y - 12 = 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là:

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Lời giải

Ta có d: 3x + 4y - 12 = 0 nên y = 3 -  , thay vào phương trình (E):  = 1 ta được:

⇔ 2x² - 8x = 0

⇔ 

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A(0; 3); B (4;0).

Chọn C.