Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip

A. Phương pháp giải

Cho elip (E):  = 1 ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh : A₁(- a;0), A₂(a; 0), B₁( 0; - b), B₂(0; b)

+ Trục lớn : : A₁A₂ = 2a , trục nhỏ : B₁B₂ = 2b

+Hai tiêu điểm F₁(-c; 0); F₂(c; 0) với c² = a² - b²

+ Tâm sai e =  < 1

+ Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:

x = ± a; y = ±b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường Elip  = 1 có tiêu cự bằng

A. 2     B. 4     C. 9     D.1

Hướng dẫn giải

Ta có a² = 5; b² = 4

suy ra c =  = 1 .

Tiêu cự bằng: 2c = 2.

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho elip có phương trình: . Khi đó tọa độ tiêu điểm của elip là.

A. F₁ (-√7; 0), F₂ (√7; 0)     B. F₁ (-16; 0), F₂ (16; 0)

C. F₁ (-9; 0), F₂ (9; 0)     D. F₁ (-4; 0), F₂ (4; 0)

Lời giải

Ta có: 

- Tiêu điểm là: F₁ (-√7;0), F₂ (√7;0)

Chọn A

Ví dụ 3: Cho elip có phương trình:  = 1. Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là.

A.A₁(-1; 0),A₁(1; 0)     B. A₁ (0; -1), A₁ (0; 1)

C.A₁(2; 0),A₁ (-1; 0)    D. A₁ (-2; 0), A₁ (2; 0)

Lời giải

Ta có: a² = 4 ⇔ a = 2

- Hai đỉnh trên trục lớn là: A₁ (-2; 0) , A₂ (2; 0)

Chọn D

Ví dụ 4: Cho elip có phương trình:  = 1 . Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.

A. B₁(-2; 0), B₂(2; 0)     B. B₁( 0; 3) và B₂(0; 2).

C. B₁(-3; 0), B₂(-2; 0)     D. B₁( 0; -2) và B₂(0; 2).

Lời giải

Ta có: b² = 4 ⇔ b = 2

- Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B₁( 0; -2) và    B₂(0; 2).

Chọn D

Ví dụ 5: Cho Elip  = 1 . Tính tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn của Elip.

A.            B.        C.       D.      

Hướng dẫn

Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng  = 1 ( a > b > 0 ).

Elip  = 1 có a² = 5, b² = 4 ⇒ c² = a²-b² = 1 ⇒ c = 1

Độ dài trục lớn: 2a = 2√5 ; tiêu cự 2c = 2.

Tỉ số 

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho elip ( E):  = 1. Tìm a > 0 để diện tích hình chữ nhật cơ sở là 20.

A. 5     B. 4     C. 3        D. 10

Lời giải

Elip ( E) có b²= 1 nên b= 1.

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là : 2a.

Chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là: 2b= 2.

⇒ Diện tích hình chữ nhật cơ sở là:

(2a) . ( 2b) = 2a. 2= 4a

Để diện tích hình chữ nhật cơ sở là 18 thì: 4a= 20 ⇔ a= 5.

Vậy a= 5.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho Elip 9x² + 36y² – 144 = 0. Câu nào sau đây sai?

A. Trục lớn bằng 8.     B. Tiêu cự bằng 4√3

C. Tâm sai bằng      D. Trục nhỏ bằng 4

Hướng dẫn giải

Ta có : 9x² + 36y² – 144 = 0 ⇔  = 1 ⇒  ⇒ x = 2√3 , e = 

⇒ Trục lớn 2a = 8, trục nhỏ 2b = 4.

Tiêu cự 2c = 4√3 và tâm sai e =  .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho Elip có phương trình : 9x² + 25y² = 225. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng

A. 15;    B. 40    C. 60    D. 30

Hướng dẫn giải

Ta có 9x² + 25y² = 225 ⇔  = 1 ⇒  ⇒ 

Độ dài trục lớn ( chiều dài hình chữ nhật cơ sở ): 2a = 10 .

Độ dài trục nhỏ ( chiều rộng hình chữ nhật cơ sở) 2b = 6 .

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: (2a). (2b) = 10.6 = 60

Chọn C.

Ví dụ 9 : Tâm sai của elip  = 1 bằng

A. 0,4;    B. 0, 2    C.  D. 4

Hướng dẫn giải

Từ dạng của elip  = 1 ta có  .

Từ công thức b² = a² - c² ⇒ c = 1 .

Tâm sai của elip e = c/a ⇒ e =  =  .

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho elip ( E):  = 1 với a> 0. Tìm a để elip (E) có tâm sai e= 3/5

A. 5     B. 6     C. 9     D. 4

Lời giải

+ Elip ( E):  = 1 có b²= 16 nên b= 4.

⇒ c²= a²- b² = a² - 16

⇒ c= 

+ Tâm sai của elip ( E) là: e = 

+ Theo đầu bài tâm sai e = 3/5 nên : 

⇔ 5. = 3a ⇔ 25( a² – 16) = 9a²

⇔ 25a² – 400 = 16a² ⇔ 16a² = 400

⇔ a² = 25 mà a> 0 nên a= 5.

Chọn A.

Ví dụ 11 : Cho elip ( E):  = 1. Tìm b để elip (E) có chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 20

A. 5     B. 6     C. 8     D. 10

Lời giải

+ Elip ( E):  = 1 có chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a.

⇒Để chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 20 thì: 2a= 20

⇔a= 10.

Chọn D.

Ví dụ 12 : Cho elip ( E):  = 1. Tìm a > 0 để tiêu cự của elip là 2√3?

A. 3    B. 4    C. 5       D. 2

Lời giải

+ Elip ( E):  = 1 có b²= 1

⇒ c²= a²- b² = a²- 1

⇒ c =  và tiêu cự của elip ( E) là: 2c= 2.

+ Để tiêu cự của elip là 2√3 thì: 2= 2√3

⇔ = √3 ⇔ a²- 1= 3

⇔ a²= 4 mà a> 0 nên a= 2

Chọn D.

Ví dụ 13: Cho elip có phương trình:  = 1 Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là.

A. 9; 4    B. 6; 4    C. 3; 2    D. 4; 6

Lời giải

Ta có:

- Trục lớn: A₁ A₁ = 2a = 2.3 = 6

- Trục nhỏ: B₁ B₂ = 2b = 2.2 = 4

Chọn B