Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
A. Phương pháp giải
+ Bài toán 1: Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B :
- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : 
= 1 (a > b > 0).
- Bước 2: Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a2; b2.
Giải hệ phương trình ta được a2; b2...
⇒ Phương trình chính tắc của elip.
+ Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai....)
- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : 
= 1 (a > b > 0).
- Bước 2: Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình
( E) ta được một phương trình ẩn a2; b2
- Bước 3: Từ điều kiện T thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c.
Mà a2 – b2 = c2. Kết hợp ba phương trình trên để tìm a; b; c.
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
.
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm A( 6;0) suy ra: 
=1
⇔
=1 ⇔ a2 = 36 mà a > 0 nên a = 6.
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra :
= 
= ⇒ c = 
= 
= 3
⇒ b2 = a2 – c2 = 62 – 32= 27
Vậy phương trình cần tìm là ( E) : 
= 1
Chọn A
Ví dụ 2: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A( 0; 5).
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. Đáp án khác
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).
Ta có tiêu cự bằng 6 nên: 2c = 6 ⇒ c = 3 và a2 - b2 = c2 = 9 ( 1)
Do điểm A(0; 5) thuộc ( E) nên:
= 1 ⇔ 
⇔ b2 = 25 mà b> 0 nên b= 5.
Thay vào (1) ta được : a2 – 25 = 9 ⇔ a2 = 34
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) : 
= 1
Chọn D
Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a > b > 0).
Theo đề ra: Trục lớn gấp đôi trục bé nên : 2a = 2.( 2b)
⇔ a = 2b ⇔ a2 = 4b2
Điểm ( 2; -2) thuộc Elip : 
= 1 ⇔ 
= 1
Ta được hệ: 
⇒ 
⇒ Phương trình elip ( E) : 
= 1
Chọn D
Ví dụ 4: Phương trình chính tắc của Elip có một tiêu điểm F1(-√3; 0 ) và đi qua M(1; 
) là
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. = 1
Lời giải
Do elip có một tiêu điểm là F1(- √3; 0) nên c = √3
Phương trình chính tắc của elip có dạng :
(E) : = 1 (a > b > 0) ⇒ c = 
= √3 ⇒ a2 - b2 = 3(1)
M(1; )∈ (E) ⇒ 
= 1 ⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2 b2 (2)
Giải hệ (1) và (2)
⇔ 
⇔ 
⇔ 
Vậy phương trình elip là: 
= 1
Chọn C
Ví dụ 5: Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) và đi qua điểm M( 2; 3) là
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm: = 1 (a > b > 0).
+ Ta có elip có hai tiêu điểm F1(- 2;0); F2(2; 0) nên c = 2
⇒ a2- b2=c2 = 4 ⇒ a2= b2 + 4 ( 1)
+ Do elip đi qua điểm M( 2; 3) nên :
= 1 ( 2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
+ Giải phương trình ( *) ⇔ 4b2 + 9( b2+ 4) = b2 ( b2 + 4)
⇔ 4b2 + 9b2+ 36 = b4 + 4b2
⇔ b4 – 9b2 -36 = 0 ⇔ b2 = 12
⇒ a2 = b2 + 4 = 16
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) : 
= 1
Chọn A
Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc của elip có tâm O; hai trục đối xứng là hai trục toạ độ và qua hai điểm 
, 
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc elip cần tìm là = 1 (a > b > 0).
Do elip đi qua , nên ta có hệ :
⇔ 
Vậy elip cần tìm là 
= 1
Chọn C
Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 và đi qua A(5; 0) ?
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của elip = 1 (a > b > 0).
Do chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 8 nên 2b = 8 ⇔ b = 4
Do elip đi qua điểm A( 5;0) nên: 
= 1
⇔ a2 = 25
Phương trình chính tắc của elip : 
= 1
Chọn B
Ví dụ 8: Elip đi qua các điểm M ( 0; 3) và N( 3; 
) có phương trình chính tắc là:
A. 
= 1 B. 
= 1
C. 
= 1 D. 
= 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip là = 1 (a > b > 0).
Elip đi qua điểm M( 0; 3) suy ra: 
= 1
⇔ 
= 1 ⇔ b2 = 9 ( 1)
Elip đi qua điểm N N( 3; ) suy ra: 
= 1 ( 2)
Thay( 1) vào ( 2) ta được: 
= 1
⇔ 
= 1 ⇔ a2= 25
Vậy phương trình cần tìm là: 
= 1
Chọn B
