Các dạng bài tập về đường tròn trong mặt phẳng chọn lọc, có lời giải

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn
(C): x² + y² – 4x - 6y = 0 và (C’): x² + y² + 4x = 0. Một đường thẳng đi qua giao điểm của (C) và (C') lần lượt cắt lại (C) và (C') tại M và N. Viết phương trình đường thẳng khi MN đạt giá trị lớn nhất.

A. 2x - y = 0 và x + 4y + 12 = 0    B. 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

C. x + y - 10 = 0 và 3x - y + 12 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = √13

Đường tròn (C') có tâm J( - 2; 0) và bán kính R’ = 2.

⇒ IJ = 5 nên |R - r| < IJ < R + r

⇒ (C) cắt (C') tại hai điểm A, B

+ Xét ∆ bất kì qua A cắt (C) và (C') tại M và N. Gọi ∆' là đường thẳng qua A vuông góc với AB, cắt (C), (C') lần lượt tại C và D. Gọi K, H lần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆' . Gọi P, Q lần lượt là là hình chiếu của I, J lên ∆ .

Khi đó ta có MN = 2PQ ≤ 2IJ = 2KH = CD

⇒ MN_max = CD.

+ Tọa độ A, B là nghiệm của hệ

Từ đó suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn:

- ( ∆₁) : 

⇒ Phương trình : 3( x - 0) – 4( y - 0) = 0 hay 3x - 4y = 0

- ( ∆₂) : 

⇒ Phương trình : 3(x +  ) - 4( y -  ) = 0 hay 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: 3x - 4y = 0 và 3x - 4y + 12 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): x² + y² – 4x - 6y + 11 = 0 sao cho MA lớn nhất, biết A(3; 2).

A. M( - 2; 8)    B. M(9; 2)    C. M(1; 4)    D. M(3; 8)

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(2; 3).

+ Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta được :

3² + 2² - 4.3 - 6.2 + 11 = 0 ( đúng)

⇒ Điểm A thuộc đường tròn ( C).

⇒ Để MA đạt lớn nhất thì MA là đường kính

⇒ M đối xứng với A qua I hay I là trung điểm của MA.

Tọa độ điểm M là:  ⇒ M(1; 4)

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C): (x - 2)² + (y - 3)² = 5. Tìm trên ( C) điểm M sao cho
MB = 4 biết rằng B(1; 5)?

A. M(1; - 1)    B. M( ;  )    C. M( ;  )    D. Đáp án khác

Lời giải

Gọi tọa độ điểm M(x₀; y₀).

+ Vì điểm M nằm trên đường tròn ( C) nên (x₀ – 2)² + (y₀ - 3)² = 5

Hay x₀² - 4x₀ + y₀² - 6y₀ + 8 = 0 (1)

+ Theo giả thiết BM = 4 nên BM² = 16 ⇔ (x₀ - 1)² + (y₀ - 5)² = 16

Hay x₀² - 2x₀ + y₀² - 10y₀ + 10 = 0 (2)

+ Lấy (2) trừ (1) vế trừ vế ta được :

2x₀ – 4y₀ + 2 = 0 ⇔ x₀ - 2y₀ + 1 = 0

⇔ x₀ = 2y₀ – 1 thay vào (1) ta được :

( 2y₀ - 1)² – 2(2y₀ – 1) + y₀² - 10y₀ + 10 = 0

⇔ 5 y₀² - 18y₀ + 13 = 0

⇔

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(1; 1) và M( ;  ) .

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x - 3)² + ( y - 2)² = 5. Tìm điểm E thuộc đường tròn sao cho tam giác OEF vuông tại O, biết rằng điểm F (4; - 2)?

A. E₁(2; 4) và E₂( ;  ) .    B. E₁(1; - 4) và E₂( ;  ) .

C. E₁(3; - 6) và E₂( -  ;  ) .    D. E₁(2; 4) và E₂( ;  ) .

Lời giải

+ Do tam giác OEF vuông tại O nên OE vuông OF.

+ Đường thẳng OE: 

⇒ Phương trình OE: 2(x - 0) – 1(y - 0) = 0 hay 2x - y = 0.

+ Đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại E nên tọa độ E là nghiệm hệ

Vậy có hai điểm thỏa mãn là E₁(2; 4) và E₂( ;  ) .

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC biết B( 2; m) và C( n; 1). Tìm tọa độ điểm B? Biết rằng  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn?

A. B(2; 1)    B. B( 2; 2)    C. B(2; -1)    D. B(2; -3)

Lời giải

+ Do góc  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc  = 90⁰.

⇒ Tam giác BAC vuông tại A và BC là đường kính .

⇒ O (0; 0) là trung điểm của BC.

⇒ 

Vậy tọa độ điểm B(2; -1) và điểm C(-2; 1)

Chọn C.

Ví dụ 6 : Cho đường tròn (C): x² + y² - 4x + 4y - 2 = 0; đường thẳng ∆: x + y - 2 = 0. Tìm trên d điểm A sao cho từ A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn ( C) ?

A. ( 1, 1)    B. ( 2; 0)    C. ( 3; -1)    D. (1;1) hoặc ( 5; -3)

Lời giải

+ Đường tròn ( C) tâm I( 2; -2) và bán kính R = 3.

+ Ta có nhận xét:

- Nếu điểm A nằm trong hình tròn( C) thì qua A không kẻ được tiếp tuyến nào đến đường tròn.

- Nếu điểm A nằm trên đường tròn ( C) thì qua A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn .

- Nếu điểm A nằm bên ngoài hình tròn ( C) thì qua A kẻ được hai tiếp tuyến nào với đường tròn.

⇒ Theo đề bài; từ điểm A kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đường tròn (C) thì điểm A nằm trên đường tròn.

⇒ A là giao điểm của đường tròn ( C) và đường thẳng d. Nên tọa độ A là nghiệm hệ:

 (*)

Giải phương trình ( *) :

(*) ⇔ 4 - 4y + y² + y² – 8 + 4y + 4y - 2 = 0

⇔ 2y² + 4y - 6 = 0

⇔ 

Vậy có hai điểm A thỏa mãn đề bài là (1;1) và ( 5; -3)

Chọn D.

Ví dụ 7 . Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn( C): x² + y² - 2x + 4y + 4 = 0 có tâm I và điểm M( - 1; - 3) . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

A. x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0    B. x + 2y - 7 = 0 và x - 3y - 20 = 0

C. 2x + y - 3 = 0 và x - 7y - 20 = 0    D. x - 4y = 0 và x + 2y - 20 = 0

Lời giải

+ Đường tròn ( C): tâm I( 1; -2); bán kính R = 1

+ Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: a( x + 1) + b( y + 3) = 0 ( *)

+ Do A; B thuộc đường tròn ( C) nên IA = IB = R = 1

Diện tích tam giác IAB là:

S_IAB =  IA.IB.sin(  ) =  .1.1.sin( ) ≤  ⇒ S_IAB lớn nhất khi:

 = 90⁰ ⇒ IH =  với H là hình chiếu I lên Δ

Suy ra d(I; Δ) = IH = 

⇔  ⇔ 2( 2a + b)² = a² + b²

⇔ 7a² + 8ab + b² = 0

⇔ 

+ Nếu a = -  b; chọn b = - 7; a = 1 thay vào ( *) ta được phương trình đường thẳng:

∆ : 1( x + 1) – 7 ( y + 3) = 0 hay x - 7y - 20 = 0

+ Nếu a = - b; chọn a = 1; b = -1 thay vào ( *) ta được :

∆: 1( x + 1) - 1.(y + 3) = 0 hay x - y - 2 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: x - y - 2 = 0 và x - 7y - 20 = 0.

Chọn A

Ví dụ 8: Cho đường tròn ( C): x² + y² – 4x - 6y + 5 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc đường tròn?

A. 2    B. 5     C. 4    D . 7

Lời giải

Xét phương trình ( C) với ẩn y; x là tham số

y² - 6y + (x² - 4x + 5) = 0

Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: ∆' ≥ 0

⇔ 9 - x² + 4x - 5 ≥ 0 ⇔ x² - 4x - 4 ≤ 0

⇔ 2 - √8 ≤ x ≤ 2 + √8

⇒ Các điểm M(x;y) thuộc (C) có hoành độ nguyên là 0; 1; 2; 3; 4 ta có:

Vậy tồn tại bốn điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên là:

(0; 1); (0; 5); (4; 1) và (4; 5)

Chọn C.