PHIẾU BÀI TẬP VỀ NHÀ – MÔN TOÁN 

• Họ và tên: .......................................................

• Lớp / MSSV: ......................................................

• Thời hạn nộp: ....................................................

PHẦN I: GIẢI TÍCH

Bài 1. Tính giới hạn sau bằng phương pháp khai triển Taylor (Maclaurin):

\(L=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln (\cos x)+\frac{1}{2}\sin ^{2}x}{x^{4}}\)

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực p để chuỗi số sau hội tụ:

\(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}\right)^{p}\)

Bài 3. Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của tích phân suy rộng sau theo tham số p > 0:

\(I=\int _{1}^{+\infty }\frac{\sin (x^{2})}{x^{p}}\,dx\)

Bài 4. Tính tích phân bội ba:

\(J=\iiint _{V}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy\,dz\)

trong đó miền V được giới hạn bởi mặt nón \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) và mặt phẳng z = 2.

Bài 5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất:

\(y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=(x+1)e^{2x}+\cos (2x)\)

PHẦN II: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài 6. Tính định thức cấp n sau (với điều kiện \(a_i \neq 0, \forall i = \overline{1, n}\)):

\(D_{n}=\left|\begin{matrix}1+a_{1}&1&\dots &1\\ 1&1+a_{2}&\dots &1\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 1&1&\dots &1+a_{n}\end{matrix}\right|\)

Bài 7. Cho ma trận vuông cấp hai \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\). Hãy tính ma trận lũy thừa A¹⁰⁰.

Bài 8. Trong không gian \(\mathbb{R}^{3}\), cho dạng toàn phương:

\(Q(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}\)

Hãy tìm một phép biến đổi trực giao để đưa dạng toàn phương Q về dạng chính tắc.

Lưu ý: Sinh viên trình bày chi tiết các bước biến đổi và ghi rõ các định lý, tiêu chuẩn áp dụng vào giấy A4.