1. Nguồn gốc bài toán
Vào năm 1911, nhà toán học Otto Toeplitz đã đưa ra giả thuyết rằng: Mọi đường cong Jordan (đường cong liên tục, đơn và đóng) đều chứa bốn điểm tạo thành các đỉnh của một hình vuông.
 
2. Những gì chúng ta đã biết (Các trường hợp đã được chứng minh)
Dù chưa có lời giải cho mọi đường cong bất kỳ, các nhà toán học đã chứng minh được giả thuyết này đúng cho rất nhiều loại đường cong đặc biệt:
Đường cong lồi: Luôn tồn tại ít nhất một hình vuông nội tiếp.
Đường cong trơn (Smooth curves): Nếu đường cong đủ "mượt" (có đạo hàm), bài toán đã được chứng minh là đúng.
Đường cong đối xứng tâm: Luôn tồn tại hình vuông nội tiếp.
Đường cong giải tích: Các đường cong được định nghĩa bởi các hàm số giải tích cũng đã được xác nhận.
Vào năm 2020, hai nhà toán học Joshua Greene và Andrew Lobb đã công bố một bước tiến lớn khi chứng minh rằng đối với bất kỳ đường cong mượt nào, tồn tại các hình chữ nhật với mọi tỷ lệ cạnh mong muốn, điều này củng cố thêm niềm tin vào giả thuyết Toeplitz.
 
3. Tại sao bài toán này khó?
Khó khăn nằm ở những đường cong "quái dị" (fractal hoặc không trơn). Những đường cong này có thể gấp khúc vô tận hoặc không có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào. Các phương pháp hình học và topo hiện đại (như lý thuyết chỉ số Morse hay định lý về diện tích bề mặt) vẫn chưa thể bao quát hết các trường hợp cực đoan này.
 

 
Tóm tắt các hình học khác trên đường cong
Trong khi hình vuông vẫn là một ẩn số, chúng ta đã chắc chắn về các hình khác:
Tam giác: Mọi tam giác (với hình dạng bất kỳ) đều có thể tìm thấy 3 đỉnh trên bất kỳ đường cong Jordan nào.
Hình chữ nhật: Luôn tồn tại ít nhất một hình chữ nhật nội tiếp trong mọi đường cong Jordan.
 
Sự thật thú vị: Nếu bạn nới lỏng điều kiện từ "hình vuông" thành "hình chữ nhật", bài toán trở nên dễ dàng hơn nhiều và đã được chứng minh là luôn đúng bằng cách sử dụng các dải Möbius trong không gian cấu hình.

$\color{black}{\text{1. Trạng thái của bài toán}}$
$\color{black}{\text{Câu trả lời hiện tại là: }\textbf{Chưa có lời giải tổng quát cho mọi đường cong liên tục.}}$

$\color{black}{\text{Mặc dù bài toán nghe có vẻ đơn giản, nhưng nó đã thách thức các nhà toán học từ năm 1911 (khi Otto Toeplitz đưa ra giả thuyết).}}$

$\color{black}{\text{2. Những trường hợp đã được chứng minh}}$
$\color{black}{\text{Mặc dù chưa thể khẳng định cho mọi đường cong liên tục, đơn và đóng (đường cong Jordan), chúng ta đã có câu trả lời khẳng định (Tồn tại) cho các trường hợp sau:}}$

$\color{black}{\textbf{Đường cong trơn (Smooth curves):}\text{ Nếu đường cong đủ "mượt" (có đạo hàm), hình vuông luôn tồn tại.}}$
$\color{black}{\textbf{Đường cong lồi (Convex curves):}\text{ Luôn tồn tại ít nhất một hình vuông nội tiếp.}}$
$\color{black}{\textbf{Đường đa giác (Polygonal curves):}\text{ Luôn tồn tại hình vuông nội tiếp.}}$
$\color{black}{\textbf{Đường cong đối xứng tâm:}\text{ Luôn có lời giải cho trường hợp này.}}$

$\color{black}{\text{3. Một số kết quả liên quan}}$
$\color{black}{\text{Nếu chúng ta nới lỏng yêu cầu từ "hình vuông" sang các hình khác, kết quả sẽ rõ ràng hơn:}}$

$\color{black}{\textbf{Hình chữ nhật:}\text{ Đã được chứng minh là luôn tồn tại trên mọi đường cong Jordan (Vaughan, 1977).}}$
$\color{black}{\textbf{Tam giác đều:}\text{ Luôn tồn tại trên mọi đường cong Jordan.}}$

$\color{black}{\text{Tóm lại}}$
$\color{black}{\text{Đối với một đường cong bất kỳ chỉ cần có tính chất liên tục, đơn và đóng, việc tồn tại một hình vuông vẫn là một }\textbf{giả thuyết}\text{ chưa được chứng minh hoàn toàn, dù các nhà toán học tin rằng câu trả lời là }\textbf{Có}\text{.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$

$\color{black}{\text{1. Trạng thái hiện tại của bài toán}}$
$\color{black}{\text{Câu trả lời là: }\textbf{Chưa có lời giải tổng quát hoàn toàn cho mọi đường cong liên tục.}}$

$\color{black}{\text{Dù nghe có vẻ đơn giản, nhưng đây là một trong những giả thuyết chưa được giải quyết triệt để nhất trong toán học kể từ khi Otto Toeplitz đưa ra vào năm 1911. Tuy nhiên, các nhà toán học đã chứng minh được nó đúng cho rất nhiều loại đường cong khác nhau.}}$

$\color{black}{\text{2. Các trường hợp đã được chứng minh (Tồn tại)}}$
$\color{black}{\text{Chúng ta đã biết chắc chắn rằng hình vuông nội tiếp luôn tồn tại đối với các loại đường cong sau:}}$

$\color{black}{\textbf{Đường cong trơn (Smooth curves):}\text{ Nếu đường cong có đạo hàm (mượt mà, không có góc nhọn), bài toán đã được chứng minh là đúng.}}$
$\color{black}{\textbf{Đường đa giác (Polygons):}\text{ Mọi đa giác đơn, đóng đều chứa ít nhất một hình vuông có 4 đỉnh nằm trên cạnh của nó.}}$
$\color{black}{\textbf{Đường cong lồi (Convex curves):}\text{ Luôn tồn tại giải pháp.}}$
$\color{black}{\textbf{Đường cong có tính đối xứng:}\text{ Ví dụ như đường tròn, elip, hoặc các đường đối xứng qua tâm.}}$

$\color{black}{\text{3. Tại sao bài toán này khó?}}$
$\color{black}{\text{Khó khăn nằm ở những đường cong cực kỳ "kỳ dị" (fractal hoặc không có đạo hàm tại bất kỳ đâu). Mặc dù hầu hết các nhà toán học tin rằng câu trả lời là "Có" cho mọi đường cong Jordan (liên tục, đơn, đóng), nhưng một chứng minh bao quát cho tất cả các trường hợp vẫn đang là một thách thức lớn.}}$

$\color{black}{\text{4. Các kết quả liên quan khác}}$
$\color{black}{\text{Nếu chúng ta thay đổi yêu cầu từ hình vuông sang các hình khác, kết quả lại rất khả quan:}}$

$\color{black}{\textbf{Hình chữ nhật:}\text{ Luôn tồn tại trên mọi đường cong Jordan (đã được Vaughan chứng minh năm 1977 bằng cách sử dụng các dải Möbius).}}$
$\color{black}{\textbf{Tam giác đều:}\text{ Luôn tồn tại ít nhất một tam giác đều nội tiếp trên bất kỳ đường cong đơn đóng nào.}}$

$\color{black}{\text{Tóm lại}}$
$\color{black}{\text{Đối với những đường cong thông thường mà chúng ta có thể vẽ được, câu trả lời là }\textbf{Có}\text{. Nhưng trong toán học thuần túy, việc khẳng định cho "mọi" đường cong liên tục vẫn là một dấu hỏi lớn chưa được chinh phục hoàn toàn.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$