KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN

MÔN: TOÁN CAO CẤP (NÂNG CAO & CHUYÊN SÂU)

Thời gian làm bài: 90 phút (Không sử dụng tài liệu)

PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH & ĐA THỨC (5,0 điểm)

Câu 1 (2,5 điểm).

Cho \(A\) và \(B\) là hai ma trận vuông thực cấp \(n\) thỏa mãn hệ thức:

\(AB-BA=A\)

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\), ta luôn có \(A^k B - B A^k = k A^k\).

2. Từ đó, chứng minh rằng ma trận \(A\) là một ma trận lũy linh (tức là tồn tại số nguyên dương m sao cho \(A^m = 0\)).

Câu 2 (2,5 điểm).

Xét không gian vectơ \(V = \mathbb{R}_n[x]\) gồm tất cả các đa thức hệ số thực có bậc không quá \(n\). Gọi \(f: V \to V\) là một phép biến đổi tuyến tính được xác định bởi:

\(f(P(x))=P(x+1)-P(x)\)

1. Tìm hạt nhân \(\text{Ker}(f)\) và ảnh \(\text{Im}(f)\) của phép biến đổi tuyến tính này.

2. Tìm ma trận của \(f\) đối với cơ sở chính tắc \(\{1, x, x^2, \dots, x^n\}\) của \(V\) và chỉ ra rằng \(f\) không chéo hóa được với \(n \ge 1\).

PHẦN II: GIẢI TÍCH CẤP ĐỘ CỰC HẠN (5,0 điểm)

Câu 3 (2,5 điểm).

Cho \(f: [0, 1] \to \mathbb{R}\) là một hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai liên tục trên \((0, 1)\) thỏa mãn \(f(0) = f(1) = 0\). Chứng minh rằng:

\(\max _{x\in [0,1]}|{}f(x)|{}\le \frac{1}{8}\max _{x\in [0,1]}|{}f^{\prime \prime }(x)|{}\)

(Gợi ý: Sử dụng công thức khai triển Taylor hoặc thiết lập hàm phụ bằng định lý Rolle).

Câu 4 (2,5 điểm).

Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số sau đây (Tích phân Dirichlet nâng cao):

\(I=\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}e^{-ax}\,dx\quad \text{với }a>0\)

Từ kết quả đó, bằng cách cho \(a \to 0^+\), hãy chứng minh và tính giá trị của tích phân kinh điển:

\(\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\,dx\)

HẾT

mn làm hộ mik đc ko 😆 

cảm ơn ạ!