Cặp số nguyên tố duy nhất thoả mãn phương trình là \(x = 3\) và \(y = 5\). [1, 2]

Cách giải chi tiết:
Biến đổi phương trình ban đầu về dạng:
\(824y=16^{x}+24\)

Xét chữ số tận cùng của vế phải:Vì \(x\) là số nguyên tố nên \(x \ge 2\) (tức \(x\) là số nguyên dương).
Mọi lũy thừa của số có tận cùng là \(6\) đều có tận cùng là \(6\), do đó \(16^{x}\) luôn có chữ số tận cùng là \(6\).
Suy ra \(16^x + 24\) có chữ số tận cùng là \(0\) (vì \(6 + 4 = 10\)).
Do đó, vế phải \(16^x + 24\) chia hết cho \(10\). [1, 2]

Tìm giá trị của \(y\):Để vế trái \(824y\) chia hết cho \(10\) (có chữ số tận cùng bằng \(0\)), mà số \(824\) có chữ số tận cùng là \(4\), thì số nguyên tố \(y\) bắt buộc phải có chữ số tận cùng là \(0\) hoặc \(5\).
Trong tập hợp các số nguyên tố, chỉ có duy nhất số \(5\) là có chữ số tận cùng là \(5\) (và không có số nguyên tố nào tận cùng bằng \(0\)).
Vậy \(y = 5\). [1, 2]

Tìm giá trị của \(x\):Thay \(y = 5\) vào phương trình ta được:
\(824\cdot 5=16^{x}+24\)
\(4120=16^{x}+24\)
\(16^{x}=4120-24\)
\(16^{x}=4096\)
Ta có \(4096 = 16^3\), suy ra \(x = 3\). Vì \(3\) là số nguyên tố nên giá trị này thỏa mãn đề bài. [1, 2]

Kết luận: Cặp số nguyên tố cần tìm là \((x; y) = (3; 5)\).

Để tìm các số nguyên tố $x$ và $y$ thoả mãn phương trình:

$824y - 16^x = 24$
Chúng ta thực hiện các bước giải như sau:

Bước 1: Biến đổi phương trình
Biến đổi phương trình về dạng tính $824y$:

$824y = 16^x + 24$
Bước 2: Xét chữ số tận cùng
Với mọi số nguyên dương $x$, lũy thừa của $16^x$ luôn có chữ số tận cùng là $6$.

Do đó, biểu thức ở vế phải là $16^x + 24$ sẽ có chữ số tận cùng là: $6 + 4 = 10$ (tận cùng là $0$).

Vì vế phải tận cùng bằng $0$, nên vế trái $824y$ cũng phải có chữ số tận cùng bằng $0$.

Vì $824$ có tận cùng là $4$, để tích $824y$ có tận cùng là $0$ thì chữ số tận cùng của $y$ phải là $0$ hoặc $5$.

Mặt khác, $y$ là một số nguyên tố, nên $y$ chỉ có thể nhận giá trị duy nhất là $y = 5$.

Bước 3: Thay $y = 5$ vào phương trình để tìm $x$
$824 \times 5 - 16^x = 24$
$4120 - 16^x = 24$
$16^x = 4120 - 24$
$16^x = 4096$
Ta nhận thấy rằng:

$16^3 = 4096$
Suy ra $x = 3$.

Bước 4: Kết luận
Kiểm tra lại điều kiện: $x = 3$ và $y = 5$ đều là các số nguyên tố.

Vậy các số nguyên tố cần tìm là $x = 3$ và $y = 5$.