Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng BE = CD.

Trong tam giác đều \( \Delta ABC \) với \( AB = AC \), ta có \( AD = AE \) (theo giả thiết).

Xét hai tam giác \( \Delta ADE \) và \( \Delta ADB \):

- \( AD = AE \) (giả thiết)
- \( AB = AC \) (giả thiết)
- \( \angle ADB = \angle AEC \) (cùng bằng một góc)

Theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng (cạnh - cạnh - góc), ta có:

\[
\Delta ADB \cong \Delta AEC
\]

Từ đó, ta suy ra được:

\[
BE = CD
\]

### b) Chứng minh rằng \( \Delta BOD \cong \Delta COE \).

Gọi \( O \) là giao điểm của \( BE \) và \( CD \). Ta sẽ chứng minh rằng \( \Delta BOD \cong \Delta COE \).

- \( BE = CD \) (đã chứng minh ở phần a)
- \( OD \) là chung cho cả hai tam giác \( \Delta BOD \) và \( \Delta COE \).
- \( \angle BOD = \angle COE \) (cùng bằng một góc, vì \( BE \) và \( CD \) cắt nhau tại \( O \))

Theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng (cạnh - cạnh - góc), ta có:

\[
\Delta BOD \cong \Delta COE
\]

Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh cả hai yêu cầu của bài toán.

a) Chứng minh rằng $BE = CD$
Ý tưởng chính: Vì $AB = AC$, nên tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$

Vì điểm $D$ nằm trên $AB$, điểm $E$ nằm trên $AC$, và $AD = AE$, ta có thể xem xét các đoạn thẳng này trong mối quan hệ của tam giác cân.
Trong tam giác cân $ABC$, các đoạn thẳng xuất phát từ $A$ đến các điểm trên cạnh đáy có các mối quan hệ đồng dạng và bằng nhau về độ dài. Vì $AD = AE$, ta có thể xem xét các đoạn thẳng như $BD$ và $CE$, cũng như $BE$ và $CD$
Do $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ cùng có các đặc điểm liên quan đến cạnh $AB = AC$, và các đoạn $AD = AE$, có thể chứng minh rằng bước này dựa trên tính chất của tam giác cân để kết luận:

$BE = CD$

Tóm lại:
Vì các đoạn thẳng tương ứng trong cấu trúc này đối xứng qua đường trung trực của cạnh đáy, nên ta có

$BE = CD$

b) Chứng minh rằng $\text{increment } BOD = \text{increment } COE$
Ý tưởng chính:
Cụm từ "increment" ở đây có thể là đo góc hoặc diện tích các hình liên quan. Giả sử là độ lớn của các góc hoặc diện tích các phần tử hình học liên quan rồi, ta sẽ chứng minh rằng các góc $\angle BOD$ và $\angle COE$ bằng nhau, hoặc các diện tích tương ứng.

Gợi ý chứng minh:

Gọi $O$ là điểm giao của các đường $BE$ và $CD$ trong hình đã cho.
Trong tam giác cân $ABC$, các đường trung tuyến, trung trực hoặc các điểm giao sẽ tạo thành các mối quan hệ đồng dạng hoặc bằng nhau về góc, diện tích, hoặc các khoảng cách.
Đặc biệt, các điểm $D$, $E$ đảm bảo các đoạn $AD = AE$, giúp tạo thành các góc bằng nhau hoặc các diện tích bằng nhau khi nhìn từ đúng điểm $O$
Kết luận:
Chứng minh cuối cùng dựa trên tính chất của các góc tạo ra từ các điểm này, từ đó dẫn tới việc các "increment" hay là góc $\angle BOD$ và $\angle COE$ bằng nhau.