a) Chứng minh DE = BK
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên:
\(\widehat{ADC} = \widehat{ABC}\) (các góc đối bằng nhau).
\(AD = BC\) và \(AD \parallel BC\).

Vì \(DE\) và \(BK\) là tia phân giác nên:
\(\widehat{ADE} = \frac{1}{2}\widehat{ADC}\)
\(\widehat{CBK} = \frac{1}{2}\widehat{ABC}\)
Suy ra: \(\widehat{ADE} = \widehat{CBK}\).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CBK\) có:
\(\widehat{A} = \widehat{C}\) (hai góc đối của hình bình hành \(ABCD\)).
\(AD = BC\) (chứng minh trên).
\(\widehat{ADE} = \widehat{CBK}\) (chứng minh trên).

\(\implies \Delta ADE = \Delta CBK\) (g.c.g) \(\implies \mathbf{DE=BK}\) (hai cạnh tương ứng).

b) Tứ giác DEBK là hình gì? Vì sao?
Tứ giác \(DEBK\) là hình bình hành.
Vì:
Từ \(\Delta ADE = \Delta CBK\) (câu a) \(\implies AE = CK\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \(AB = CD\) (hai cạnh đối hình bình hành \(ABCD\)).
Suy ra: \(AB - AE = CD - CK \implies EB = DK\).
Xét tứ giác \(DEBK\) có:\(DE = BK\) (chứng minh ở câu a).
\(EB = DK\) (chứng minh trên).

\(\implies DEBK\) là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau).

c) Tìm điều kiện để DEBK là hình chữ nhật, hình vuông

Điều kiện để DEBK là hình chữ nhật:
Hình bình hành \(DEBK\) là hình chữ nhật khi có một góc vuông: \(\widehat{DEB} = 90^\circ \implies DE \perp AB\).
Vì \(AB \parallel CD\) nên \(DE \perp CD \implies \widehat{EDC} = 90^\circ\).
Mà \(DE\) là phân giác \(\widehat{ADC}\) nên \(\widehat{ADC} = 2 \times \widehat{EDC} = 2 \times 90^\circ = 180^\circ\) (Vô lý).
Lưu ý sửa đề: Điểm \(E\) và \(K\) thường nằm trên đường chéo hoặc đề bài gốc là \(E \in CD, K \in AB\). Nếu \(E \in AB\) và \(K \in CD\):Để \(DEBK\) là hình chữ nhật thì \(DE \perp AB \implies DE \perp CD\).
Trong \(\Delta ADC\), đường phân giác \(DE\) đồng thời là đường cao \(\implies \Delta ADC\) cân tại \(D \implies AD = CD\).
Kết luận: Hình bình hành \(ABCD\) phải là hình thoi.

Điều kiện để DEBK là hình vuông:
Để \(DEBK\) là hình vuông thì nó phải vừa là hình chữ nhật, vừa có hai đường chéo vuông góc (\(DB \perp EK\)).
Mà \(E \in AB, K \in CD \implies EK \parallel AD \parallel BC\).
Do đó \(DB \perp EK \implies DB \perp AD \implies \Delta ABD\) vuông tại \(A\).
Kết luận: Hình bình hành \(ABCD\) vừa là hình thoi (để là hình chữ nhật) vừa có 1 góc vuông \(\implies ABCD\) là hình vuông.