Phương pháp giải chi tiết

1. Tính thể tích hình nón \(N_{1}\) (\(V_{1}\))
Đỉnh: Nằm trên mặt cầu.
Đáy: Là đường tròn lớn của mặt cầu (đường tròn đi qua tâm \(O\)).Bán kính đáy của hình nón \(N_{1}\) chính là bán kính mặt cầu: \(r_1 = R\).
Chiều cao của hình nón \(N_{1}\) là khoảng cách từ đỉnh (trên mặt cầu) đến tâm \(O\): \(h_1 = R\).

Thể tích \(V_{1}\):
\(V_{1}=\frac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h_{1}=\frac{1}{3}\pi R^{2}\cdot R=\frac{1}{3}\pi R^{3}\)

2. Tính thể tích hình nón \(N_{2}\) (\(V_{2}\))
Đỉnh: Là tâm mặt cầu \(O\).
Đáy: Là một đường tròn nhỏ của mặt cầu.
Đặc điểm: Chiều cao của hình nón \(N_{2}\) (\(h_{2}\)) bằng bán kính đáy của nó (\(r_{2}\)), tức là \(h_2 = r_2\).
Mối liên hệ hình học:Xét tam giác vuông tạo bởi tâm \(O\), tâm đường tròn đáy nhỏ và một điểm trên đường tròn đáy (nằm trên mặt cầu).
Theo định lý Pitago: \(h_2^2 + r_2^2 = R^2\)
Vì \(h_2 = r_2\) nên: \(r_2^2 + r_2^2 = R^2 \Rightarrow 2r_2^2 = R^2 \Rightarrow r_2^2 = \frac{R^2}{2}\)
Suy ra chiều cao: \(h_2 = r_2 = \frac{R}{\sqrt{2}}\)

Thể tích \(V_{2}\):
\(V_{2}=\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}h_{2}=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{R^{2}}{2}\right)\cdot \frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{1}{6\sqrt{2}}\pi R^{3}\)

3. Tính tỉ số thể tích \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\)
\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi R^{3}}{\frac{1}{6\sqrt{2}}\pi R^{3}}=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

Ta có bán kính mặt cầu là R.

1. Hình nón N₁​
Đáy là đường tròn lớn của mặt cầu nên:

Bán kính đáy: r₁​=R
Mặt phẳng đáy đi qua tâm O.
Đỉnh nằm trên mặt cầu nên khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy chính là chiều cao:

h₁​=R
Do đó:

V₁​=$\frac{1}{3}$​πR²R=$\frac{1}{3}$​πR³

2. Hình nón N₂​
Đỉnh là O, đáy là một đường tròn nhỏ trên mặt cầu và đường cao bằng bán kính đáy.

Gọi bán kính đáy là r₂​, chiều cao là h₂​=r₂​.

Xét mặt phẳng qua O, trục của hình nón và tâm đường tròn đáy. Ta có tam giác vuông với:

R²=${r_2}^2+{h^2}_2$

Vì h₂​=r₂​:

R²=2${r_2}^2$​⇒${r_2}^2=\frac{R^2}{2}$

Suy ra:

V₂​=$\frac{1}{3}\mathrm{\pi }{r_2}^2{\mathrm{h}}_2=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{R}}^2}{2}.\frac{\mathrm{R}}{\sqrt{2}}=\frac{{\mathrm{\pi R}}^3}{6\sqrt{2}}$.

Tính tỉ số
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}{\mathrm{\pi R}}^3}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{\pi R}}^3}{6\sqrt{2}}}}=2\sqrt{2}$

Đáp án:

$\frac{V_1}{V_2}=2\sqrt{2}$
 
 
 
 
 

Chúng ta có bài toán như sau:

- Mặt cầu tâm \( O \), bán kính \( R \).
- Hai hình nón tròn xoay nội tiếp mặt cầu:
- Hình nón \( N_1 \): Đỉnh nằm trên mặt cầu, đáy là đường tròn lớn của mặt cầu (đường tròn đi qua tâm \( O \)).
- Hình nón \( N_2 \): Đỉnh là tâm mặt cầu \( O \), đáy là đường tròn nhỏ trên mặt cầu, đường cao của hình nón \( N_2 \) chính là bán kính đáy.

---

### Bước 1: Xác định các thông số của hình nón \( N_1 \)

- Đáy của \( N_1 \) là đường tròn lớn của mặt cầu, tức là đường tròn có bán kính bằng bán kính mặt cầu \( R \).
- Đỉnh của \( N_1 \) nằm trên mặt cầu, tức là cách tâm \( O \) một khoảng \( R \).
- Đường cao của hình nón \( N_1 \) là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa đáy.

Vì đáy là đường tròn lớn đi qua tâm \( O \), mặt phẳng đáy đi qua \( O \).

- Đỉnh nằm trên mặt cầu, cách tâm \( O \) một khoảng \( R \).
- Đường cao \( h_1 \) của hình nón \( N_1 \) chính là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy.

Do đáy đi qua tâm \( O \), và đỉnh nằm trên mặt cầu cách tâm \( O \) một khoảng \( R \), nên đường cao \( h_1 = R \).

- Bán kính đáy \( r_1 = R \).

Thể tích hình nón \( N_1 \) là:

\[
V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3
\]

---

### Bước 2: Xác định các thông số của hình nón \( N_2 \)

- Đỉnh là tâm mặt cầu \( O \).
- Đáy là đường tròn nhỏ trên mặt cầu.
- Đường cao \( h_2 \) của hình nón \( N_2 \) chính là bán kính đáy.

Gọi:

- \( h_2 \) là đường cao của hình nón \( N_2 \).
- \( r_2 \) là bán kính đáy của hình nón \( N_2 \).

Theo đề bài, \( h_2 = r_2 \).

---

### Bước 3: Tính bán kính đáy \( r_2 \) theo \( h_2 \)

- Đỉnh \( O \) là tâm mặt cầu.
- Đáy là đường tròn nhỏ trên mặt cầu, cách tâm \( O \) một khoảng \( h_2 \) (đường cao).
- Bán kính đáy \( r_2 \) là bán kính đường tròn nhỏ trên mặt cầu, được tính theo công thức:

\[
r_2 = \sqrt{R^2 - h_2^2}
\]

Nhưng theo đề bài, \( h_2 = r_2 \), nên:

\[
h_2 = \sqrt{R^2 - h_2^2}
\]

Bình phương hai vế:

\[
h_2^2 = R^2 - h_2^2 \implies 2h_2^2 = R^2 \implies h_2^2 = \frac{R^2}{2} \implies h_2 = \frac{R}{\sqrt{2}}
\]

Do đó:

\[
r_2 = h_2 = \frac{R}{\sqrt{2}}
\]

---

### Bước 4: Tính thể tích hình nón \( N_2 \)

\[
V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{2} \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3} \pi \frac{R^3}{2 \sqrt{2}} = \frac{\pi R^3}{6 \sqrt{2}}
\]

---

### Bước 5: Tính tỉ số thể tích \( \frac{V_1}{V_2} \)

\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^3}{\frac{\pi R^3}{6 \sqrt{2}}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6 \sqrt{2}}} = \frac{1}{3} \times \frac{6 \sqrt{2}}{1} = 2 \sqrt{2}
\]

---

### Kết luận:

- Tỉ số thể tích của hai hình nón là:

\[
\boxed{\frac{V_1}{V_2} = 2 \sqrt{2}}
\]