Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Lời giải tóm tắt
a) Tứ giác \(AEMF\) có \(3\) góc vuông: \(\angle EAF = 90^\circ\), \(\angle AEM = 90^\circ\) (do \(ME \parallel AC\) và \(AC \perp AB\)), \(\angle AFM = 90^\circ\) (do \(MF \parallel AB\) và \(AB \perp AC\)). Do đó, \(AEMF\) là hình chữ nhật.
b) Tứ giác \(EHMF\) có \(EF \parallel HM\) (vì \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\), \(EF \parallel BC\)) nên \(EHMF\) là hình thang. Mặt khác, xét tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(HF\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(HF = \frac{1}{2}AC = EM\). Hình thang có hai đường chéo bằng nhau hoặc hai cạnh bên bằng nhau và không phải hình bình hành là hình thang cân.

Các bước chứng minh chi tiết

Hỏi đáp VietJack

1. Chứng minh ba góc vuông
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\), đoạn thẳng \(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Theo tính chất đường trung bình, ta có:
\(ME\parallel AC\)
Mặt khác, do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \perp AB\). Từ đó suy ra:
\(ME\perp AB\Rightarrow \angle AEM=90^{\circ }\)
Tương tự, \(F\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), dẫn tới:
\(MF\parallel AB\)
Vì \(AB \perp AC\) nên:
\(MF\perp AC\Rightarrow \angle AFM=90^{\circ }\)
Xét tứ giác \(AEMF\), ta có ba góc vuông:
\(\angle EAF=90^{\circ },\quad \angle AEM=90^{\circ },\quad \angle AFM=90^{\circ }\)
Do đó, tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật.

2. Xác định hai cạnh song song
Xét đoạn thẳng \(EF\) nối hai trung điểm \(E\) và \(F\) của \(AB\) và \(AC\). Do đó, \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), suy ra:
\(EF\parallel BC\)
Vì điểm \(H\) thuộc đường thẳng \(BC\), ta có \(EF \parallel HM\). Tứ giác \(EHMF\) có một cặp cạnh đối song song nên nó là một hình thang.

3. So sánh hai cạnh bên
Do tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật (đã chứng minh ở phần 1), hai cạnh đối diện của nó bằng nhau:
\(EM=AF=\frac{1}{2}AC\)
Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) (do \(AH\) là đường cao). Điểm \(F\) là trung điểm của cạnh huyền \(AC\), định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cho ta:
\(HF=\frac{1}{2}AC\)
Từ hai điều trên, ta suy ra:
\(EM=HF\)
Hình thang \(EHMF\) (với \(EF \parallel HM\)) có hai cạnh bên bằng nhau \(EM = HF\) và hai đáy không bằng nhau (\(EF \neq HM\) do \(AB < AC\)), do đó \(EHMF\) là hình thang cân.

✅ Kết luận
Tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông, và tứ giác \(EHMF\) là hình thang cân nhờ có hai cạnh đáy song song cùng hai cạnh bên bằng nhau.

...Xem thêm

Answer 2

Lời giải tóm tắt
a) Tứ giác \(AEMF\) có \(3\) góc vuông: \(\angle EAF = 90^\circ\), \(\angle AEM = 90^\circ\) (do \(ME \parallel AC\) và \(AC \perp AB\)), \(\angle AFM = 90^\circ\) (do \(MF \parallel AB\) và \(AB \perp AC\)). Do đó, \(AEMF\) là hình chữ nhật.
b) Tứ giác \(EHMF\) có \(EF \parallel HM\) (vì \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\), \(EF \parallel BC\)) nên \(EHMF\) là hình thang. Mặt khác, xét tam giác vuông \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(HF\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(HF = \frac{1}{2}AC = EM\). Hình thang có hai đường chéo bằng nhau hoặc hai cạnh bên bằng nhau và không phải hình bình hành là hình thang cân.

Các bước chứng minh chi tiết

Hỏi đáp VietJack

1. Chứng minh ba góc vuông
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\), đoạn thẳng \(ME\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Theo tính chất đường trung bình, ta có:
\(ME\parallel AC\)
Mặt khác, do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \perp AB\). Từ đó suy ra:
\(ME\perp AB\Rightarrow \angle AEM=90^{\circ }\)
Tương tự, \(F\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), dẫn tới:
\(MF\parallel AB\)
Vì \(AB \perp AC\) nên:
\(MF\perp AC\Rightarrow \angle AFM=90^{\circ }\)
Xét tứ giác \(AEMF\), ta có ba góc vuông:
\(\angle EAF=90^{\circ },\quad \angle AEM=90^{\circ },\quad \angle AFM=90^{\circ }\)
Do đó, tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật.

2. Xác định hai cạnh song song
Xét đoạn thẳng \(EF\) nối hai trung điểm \(E\) và \(F\) của \(AB\) và \(AC\). Do đó, \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), suy ra:
\(EF\parallel BC\)
Vì điểm \(H\) thuộc đường thẳng \(BC\), ta có \(EF \parallel HM\). Tứ giác \(EHMF\) có một cặp cạnh đối song song nên nó là một hình thang.

3. So sánh hai cạnh bên
Do tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật (đã chứng minh ở phần 1), hai cạnh đối diện của nó bằng nhau:
\(EM=AF=\frac{1}{2}AC\)
Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) (do \(AH\) là đường cao). Điểm \(F\) là trung điểm của cạnh huyền \(AC\), định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cho ta:
\(HF=\frac{1}{2}AC\)
Từ hai điều trên, ta suy ra:
\(EM=HF\)
Hình thang \(EHMF\) (với \(EF \parallel HM\)) có hai cạnh bên bằng nhau \(EM = HF\) và hai đáy không bằng nhau (\(EF \neq HM\) do \(AB < AC\)), do đó \(EHMF\) là hình thang cân.

✅ Kết luận
Tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông, và tứ giác \(EHMF\) là hình thang cân nhờ có hai cạnh đáy song song cùng hai cạnh bên bằng nhau.

Answer 3

Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học của bạn:

a) Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.

Xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là đường trung tuyến).
E là trung điểm của AB (giả thiết). ⇒ ME là đường trung bình của ΔABC. ⇒ ME∥AC.
Vì AB⊥AC (do ΔABC vuông tại A) và ME∥AC. ⇒ ME⊥AB tại E. ⇒ MEA =90∘. (1)
Tương tự, xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC.
F là trung điểm của AC (giả thiết). ⇒ MF là đường trung bình của ΔABC. ⇒ MF∥AB.
Vì AB⊥AC và MF∥AB. ⇒ MF⊥AC tại F. ⇒ MFA =90∘. (2)
Ta lại có EAF =BAC =90∘ (do ΔABC vuông tại A). (3)
Từ (1), (2) và (3), xét tứ giác AEMF có: MEA =MFA =EAF =90∘.
Kết luận: Tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh EHMF là hình thang cân.

Để chứng minh EHMF là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là một hình thang và có hai đường chéo bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh EHMF là hình thang.

Xét ΔABC, ta có E là trung điểm AB, F là trung điểm AC.
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC.
⇒ EF∥BC.
Mà điểm H và điểm M đều nằm trên cạnh BC, nên EF∥HM.
Xét tứ giác EHMF có EF∥HM ⇒ EHMF là hình thang (hai đáy là EF và HM).
Bước 2: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau (EM=HF).

Tính EM: Theo chứng minh ở câu a, E,M là trung điểm của AB,BC nên EM là đường trung bình của ΔABC. ⇒ EM=21AC. (*)
Tính HF: Xét ΔAHC vuông tại H (do AH⊥BC), có F là trung điểm của cạnh huyền AC. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. ⇒ HF=21AC. ()
Từ (*) và (), ta suy ra: EM=HF.
Kết luận: Hình thang EHMF có hai đường chéo bằng nhau (EM=HF) nên EHMF là hình thang cân. (Điều phải chứng minh)

...Xem thêm

Answer 4

Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học của bạn:

a) Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.

Xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là đường trung tuyến).
E là trung điểm của AB (giả thiết). ⇒ ME là đường trung bình của ΔABC. ⇒ ME∥AC.
Vì AB⊥AC (do ΔABC vuông tại A) và ME∥AC. ⇒ ME⊥AB tại E. ⇒ MEA =90∘. (1)
Tương tự, xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC.
F là trung điểm của AC (giả thiết). ⇒ MF là đường trung bình của ΔABC. ⇒ MF∥AB.
Vì AB⊥AC và MF∥AB. ⇒ MF⊥AC tại F. ⇒ MFA =90∘. (2)
Ta lại có EAF =BAC =90∘ (do ΔABC vuông tại A). (3)
Từ (1), (2) và (3), xét tứ giác AEMF có: MEA =MFA =EAF =90∘.
Kết luận: Tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh EHMF là hình thang cân.

Để chứng minh EHMF là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là một hình thang và có hai đường chéo bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh EHMF là hình thang.

Xét ΔABC, ta có E là trung điểm AB, F là trung điểm AC.
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC.
⇒ EF∥BC.
Mà điểm H và điểm M đều nằm trên cạnh BC, nên EF∥HM.
Xét tứ giác EHMF có EF∥HM ⇒ EHMF là hình thang (hai đáy là EF và HM).
Bước 2: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau (EM=HF).

Tính EM: Theo chứng minh ở câu a, E,M là trung điểm của AB,BC nên EM là đường trung bình của ΔABC. ⇒ EM=21AC. (*)
Tính HF: Xét ΔAHC vuông tại H (do AH⊥BC), có F là trung điểm của cạnh huyền AC. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. ⇒ HF=21AC. ()
Từ (*) và (), ta suy ra: EM=HF.
Kết luận: Hình thang EHMF có hai đường chéo bằng nhau (EM=HF) nên EHMF là hình thang cân. (Điều phải chứng minh)

Answer 5

Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học của bạn:

a) Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.

Xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là đường trung tuyến).
E là trung điểm của AB (giả thiết). ⇒ ME là đường trung bình của ΔABC. ⇒ ME∥AC.
Vì AB⊥AC (do ΔABC vuông tại A) và ME∥AC. ⇒ ME⊥AB tại E. ⇒ MEA =90∘. (1)
Tương tự, xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC.
F là trung điểm của AC (giả thiết). ⇒ MF là đường trung bình của ΔABC. ⇒ MF∥AB.
Vì AB⊥AC và MF∥AB. ⇒ MF⊥AC tại F. ⇒ MFA =90∘. (2)
Ta lại có EAF =BAC =90∘ (do ΔABC vuông tại A). (3)
Từ (1), (2) và (3), xét tứ giác AEMF có: MEA =MFA =EAF =90∘.
Kết luận: Tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh EHMF là hình thang cân.

Để chứng minh EHMF là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là một hình thang và có hai đường chéo bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh EHMF là hình thang.

Xét ΔABC, ta có E là trung điểm AB, F là trung điểm AC.
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC.
⇒ EF∥BC.
Mà điểm H và điểm M đều nằm trên cạnh BC, nên EF∥HM.
Xét tứ giác EHMF có EF∥HM ⇒ EHMF là hình thang (hai đáy là EF và HM).
Bước 2: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau (EM=HF).

Tính EM: Theo chứng minh ở câu a, E,M là trung điểm của AB,BC nên EM là đường trung bình của ΔABC. ⇒ EM=21AC. (*)
Tính HF: Xét ΔAHC vuông tại H (do AH⊥BC), có F là trung điểm của cạnh huyền AC. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. ⇒ HF=21AC. ()
Từ (*) và (), ta suy ra: EM=HF.
Kết luận: Hình thang EHMF có hai đường chéo bằng nhau (EM=HF) nên EHMF là hình thang cân. (Điều phải chứng minh)

...Xem thêm

Answer 6

Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học của bạn:

a) Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.

Xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là đường trung tuyến).
E là trung điểm của AB (giả thiết). ⇒ ME là đường trung bình của ΔABC. ⇒ ME∥AC.
Vì AB⊥AC (do ΔABC vuông tại A) và ME∥AC. ⇒ ME⊥AB tại E. ⇒ MEA =90∘. (1)
Tương tự, xét ΔABC, ta có:

M là trung điểm của BC.
F là trung điểm của AC (giả thiết). ⇒ MF là đường trung bình của ΔABC. ⇒ MF∥AB.
Vì AB⊥AC và MF∥AB. ⇒ MF⊥AC tại F. ⇒ MFA =90∘. (2)
Ta lại có EAF =BAC =90∘ (do ΔABC vuông tại A). (3)
Từ (1), (2) và (3), xét tứ giác AEMF có: MEA =MFA =EAF =90∘.
Kết luận: Tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh EHMF là hình thang cân.

Để chứng minh EHMF là hình thang cân, ta cần chứng minh nó là một hình thang và có hai đường chéo bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh EHMF là hình thang.

Xét ΔABC, ta có E là trung điểm AB, F là trung điểm AC.
⇒ EF là đường trung bình của ΔABC.
⇒ EF∥BC.
Mà điểm H và điểm M đều nằm trên cạnh BC, nên EF∥HM.
Xét tứ giác EHMF có EF∥HM ⇒ EHMF là hình thang (hai đáy là EF và HM).
Bước 2: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau (EM=HF).

Tính EM: Theo chứng minh ở câu a, E,M là trung điểm của AB,BC nên EM là đường trung bình của ΔABC. ⇒ EM=21AC. (*)
Tính HF: Xét ΔAHC vuông tại H (do AH⊥BC), có F là trung điểm của cạnh huyền AC. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. ⇒ HF=21AC. ()
Từ (*) và (), ta suy ra: EM=HF.
Kết luận: Hình thang EHMF có hai đường chéo bằng nhau (EM=HF) nên EHMF là hình thang cân. (Điều phải chứng minh)

Answer 7

a) Chứng minh tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật
Xét \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) (theo giả thiết).
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\), nên \(ME\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\).
\(\Rightarrow ME \parallel AC\) và \(ME = \frac{1}{2}AC\).
Mà \(AC \perp AB\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\)) nên \(ME \perp AB\).
\(\Rightarrow \widehat{MEA} = 90^\circ\).
Tương tự, \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trung điểm của \(AC\), nên \(MF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\).
\(\Rightarrow MF \parallel AB\) và \(MF = \frac{1}{2}AB\).
Mà \(AB \perp AC\) nên \(MF \perp AC\).
\(\Rightarrow \widehat{MFA} = 90^\circ\).

Xét tứ giác \(AEMF\) có:
\(\widehat{EAF} = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\))
\(\widehat{MEA} = 90^\circ\)
\(\widehat{MFA} = 90^\circ\)

Kết luận: Tứ giác \(AEMF\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác \(EHMF\) là hình thang cân
Chứng minh \(EHMF\) là hình thang:
Ta có \(ME \parallel AC\) (chứng minh ở câu a). Mà \(F \in AC\) nên \(ME \parallel AF\).
Trong hình chữ nhật \(AEMF\), ta có \(ME = AF\).
Mặt khác, \(EF \parallel BC\) (vì \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\)).
\(\Rightarrow EF \parallel HM\) (vì \(H, M \in BC\)).
Vậy tứ giác \(EHMF\) là hình thang.
Chứng minh hai đường chéo bằng nhau (\(EM = HF\)):Trong hình chữ nhật \(AEMF\), hai đường chéo bằng nhau: \(EM = AF\) (1).
Xét \(\triangle AHC\) vuông tại \(H\) có \(HF\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) (vì \(F\) là trung điểm \(AC\)).
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: \(HF = \frac{1}{2}AC = AF\).
\(\Rightarrow \) \(HF = AF\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(EM = HF\).
Kết luận: Hình thang \(EHMF\) có hai đường chéo \(EM\) và \(HF\) bằng nhau nên là hình thang cân.

...Xem thêm

Answer 8

a) Chứng minh tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật
Xét \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) (theo giả thiết).
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\), nên \(ME\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\).
\(\Rightarrow ME \parallel AC\) và \(ME = \frac{1}{2}AC\).
Mà \(AC \perp AB\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\)) nên \(ME \perp AB\).
\(\Rightarrow \widehat{MEA} = 90^\circ\).
Tương tự, \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trung điểm của \(AC\), nên \(MF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\).
\(\Rightarrow MF \parallel AB\) và \(MF = \frac{1}{2}AB\).
Mà \(AB \perp AC\) nên \(MF \perp AC\).
\(\Rightarrow \widehat{MFA} = 90^\circ\).

Xét tứ giác \(AEMF\) có:
\(\widehat{EAF} = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\))
\(\widehat{MEA} = 90^\circ\)
\(\widehat{MFA} = 90^\circ\)

Kết luận: Tứ giác \(AEMF\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác \(EHMF\) là hình thang cân
Chứng minh \(EHMF\) là hình thang:
Ta có \(ME \parallel AC\) (chứng minh ở câu a). Mà \(F \in AC\) nên \(ME \parallel AF\).
Trong hình chữ nhật \(AEMF\), ta có \(ME = AF\).
Mặt khác, \(EF \parallel BC\) (vì \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\)).
\(\Rightarrow EF \parallel HM\) (vì \(H, M \in BC\)).
Vậy tứ giác \(EHMF\) là hình thang.
Chứng minh hai đường chéo bằng nhau (\(EM = HF\)):Trong hình chữ nhật \(AEMF\), hai đường chéo bằng nhau: \(EM = AF\) (1).
Xét \(\triangle AHC\) vuông tại \(H\) có \(HF\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) (vì \(F\) là trung điểm \(AC\)).
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: \(HF = \frac{1}{2}AC = AF\).
\(\Rightarrow \) \(HF = AF\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(EM = HF\).
Kết luận: Hình thang \(EHMF\) có hai đường chéo \(EM\) và \(HF\) bằng nhau nên là hình thang cân.

4 câu trả lời 34

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8