Đề bài cho tam giác \( ABC \) với các dữ kiện:

- \( BC = 20 \, cm \)
- \( \widehat{ABC} = 22^\circ \)
- \( \widehat{ACB} = 30^\circ \)

Yêu cầu:

a) Tính khoảng cách từ điểm \( B \) đến đường thẳng \( AC \).

b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác \( ABC \).

c) Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \( BC \).

---

### Bước 1: Xác định các góc và cạnh còn lại của tam giác \( ABC \)

- Tam giác có tổng các góc bằng \( 180^\circ \), nên:

\[
\widehat{BAC} = 180^\circ - \widehat{ABC} - \widehat{ACB} = 180^\circ - 22^\circ - 30^\circ = 128^\circ
\]

- Đặt các cạnh đối diện với các góc tương ứng:

\[
a = BC = 20 \, cm \quad (\text{đối diện } \widehat{A})
\]
\[
b = AC \quad (\text{đối diện } \widehat{B} = 22^\circ)
\]
\[
c = AB \quad (\text{đối diện } \widehat{C} = 30^\circ)
\]

---

### Bước 2: Tính các cạnh \( b \) và \( c \) bằng định lý sin

Áp dụng định lý sin:

\[
\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}
\]

Tính tỉ số:

\[
\frac{20}{\sin 128^\circ} = k
\]

Tính giá trị:

- \(\sin 128^\circ = \sin (180^\circ - 128^\circ) = \sin 52^\circ \approx 0.7880\)

Vậy:

\[
k = \frac{20}{0.7880} \approx 25.38
\]

Tính \( b \):

\[
b = k \sin 22^\circ = 25.38 \times \sin 22^\circ
\]

\[
\sin 22^\circ \approx 0.3746
\]

\[
b \approx 25.38 \times 0.3746 = 9.51 \, cm
\]

Tính \( c \):

\[
c = k \sin 30^\circ = 25.38 \times 0.5 = 12.69 \, cm
\]

---

### Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm \( B \) đến đường thẳng \( AC \)

Khoảng cách từ điểm \( B \) đến đường thẳng \( AC \) chính là chiều cao \( h_b \) ứng với cạnh \( AC \).

Công thức chiều cao:

\[
h_b = c \sin \widehat{ABC}
\]

Ở đây, \( c = AB = 12.69 \, cm \), \(\widehat{ABC} = 22^\circ\).

\[
h_b = 12.69 \times \sin 22^\circ = 12.69 \times 0.3746 = 4.75 \, cm
\]

---

### Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \( BC \)

Khoảng cách từ \( A \) đến \( BC \) là chiều cao \( h_a \) ứng với cạnh \( BC \).

Công thức chiều cao:

\[
h_a = a \sin \widehat{ACB}
\]

Ở đây, \( a = BC = 20 \, cm \), \(\widehat{ACB} = 30^\circ\).

\[
h_a = 20 \times \sin 30^\circ = 20 \times 0.5 = 10 \, cm
\]

---

### **Kết luận:**

- a) Khoảng cách từ điểm \( B \) đến đường thẳng \( AC \) là \( \boxed{4.75 \, cm} \).

- b) Các cạnh và góc còn lại của tam giác \( ABC \) là:

\[
\widehat{BAC} = 128^\circ, \quad AB = 12.69 \, cm, \quad AC = 9.51 \, cm
\]

- c) Khoảng cách từ điểm \( A \) đến đường thẳng \( BC \) là \( \boxed{10 \, cm} \).