1. Chứng minh \(NE = NF\)
Trong tam giác vuông \(AEH\) (có \(HE \perp AC\)), \(N\) là trung điểm của cạnh huyền \(AH\).
\(\Rightarrow NE = \frac{1}{2}AH\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Trong tam giác vuông \(AFH\) (có \(HF \perp AB\)), \(N\) là trung điểm của cạnh huyền \(AH\).
\(\Rightarrow NF = \frac{1}{2}AH\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Từ đó suy ra \(NE = NF\), hay điểm \(N\) nằm trên đường trung trực của \(EF\).

2. Chứng minh \(ME = MF\)
Xét tam giác vuông \(BFC\) (\(\widehat{BFC} = 90^\circ\)), có \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\).
\(\Rightarrow MF = \frac{1}{2}BC\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tam giác vuông \(BEC\) (\(\widehat{BEC} = 90^\circ\)), có \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\).
\(\Rightarrow ME = \frac{1}{2}BC\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Từ đó suy ra \(ME = MF\), hay điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của \(EF\).

3. Kết luận
Vì \(NE = NF\) và \(ME = MF\) nên cả \(N\) và \(M\) đều cách đều hai đầu mút đoạn thẳng \(EF\).
Do đó, đường thẳng \(MN\) đi qua hai điểm này chính là đường trung trực của \(EF\).

Nếu bạn muốn mở rộng bài toán này, tôi có thể hướng dẫn bạn chứng minh thêm:
\(\widehat{MEN} = \widehat{MFN} = 90^\circ\).
\(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\).

1. Chứng minh ME=MF��=��:
Xét ΔBCEΔ��� vuông tại E� (BE⊥AC��⊥��) có M� là trung điểm của cạnh huyền BC��.
⇒ME=12BC⇒��=12�� (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (1)
Xét ΔBCFΔ��� vuông tại F� (CF⊥AB��⊥��) có M� là trung điểm của cạnh huyền BC��.
⇒MF=12BC⇒��=12�� (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ME=MF��=�� (vì cùng bằng 12BC12��).
⇒M⇒� thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF��. (*)

2. Chứng minh NE=NF��=��:
Xét ΔAEHΔ��� vuông tại E� (BE⊥AC��⊥��) có N� là trung điểm của cạnh huyền AH��.
⇒NE=12AH⇒��=12�� (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)
Xét ΔAFHΔ��� vuông tại F� (CF⊥AB��⊥��) có N� là trung điểm của cạnh huyền AH��.
⇒NF=12AH⇒��=12�� (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NE=NF��=�� (vì cùng bằng 12AH12��).
⇒N⇒� thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF��. (**)

Kết luận:
Từ (*) và (**) suy ra MN�� là đường trung trực của đoạn thẳng EF�� (đpcm).