Để so sánh $x^2$ và $2x$ với $x \in \mathbb{Z}$ (tập hợp các số nguyên), chúng ta không thể khẳng định ngay biểu thức nào lớn hơn vì kết quả phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị của số nguyên $x$.
Phương pháp chính xác nhất là xét hiệu của hai biểu thức: $A = x^2 - 2x$.
Ta biến đổi hiệu này thành dạng tích:
$A = x(x - 2)$
Bây giờ, ta xét các trường hợp của $x$ dựa trên quy tắc xét dấu của tích số:
Trường hợp 1: Hiệu bằng 0 (Hai biểu thức bằng nhau)
Để $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$
$\Rightarrow x = 0$ hoặc $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
Kết luận: Khi $x = 0$ hoặc $x = 2$ thì $x^2 = 2x$.
(Thử lại: $0^2 = 2 \cdot 0 = 0$ và $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$ — Đúng)
Trường hợp 2: Hiệu nhỏ hơn 0 ($x^2$ nhỏ hơn $2x$)
Để $x^2 - 2x < 0 \Rightarrow x(x - 2) < 0$
Tích của hai thừa số nhỏ hơn 0 khi hai thừa số đó trái dấu nhau. Vì $x > x - 2$ nên ta bắt buộc phải có:
$x - 2 < 0 < x \Rightarrow 0 < x < 2$
Vì $x$ là số nguyên ($x \in \mathbb{Z}$), giá trị duy nhất nằm giữa 0 và 2 là $x = 1$.
Kết luận: Khi $x = 1$ thì $x^2 < 2x$.
(Thử lại: $1^2 = 1$ và $2 \cdot 1 = 2 \Rightarrow 1 < 2$ — Đúng)
Trường hợp 3: Hiệu lớn hơn 0 ($x^2$ lớn hơn $2x$)
Để $x^2 - 2x > 0 \Rightarrow x(x - 2) > 0$
Tích của hai thừa số lớn hơn 0 khi hai thừa số đó cùng dấu (cùng âm hoặc cùng dương):
Khả năng 1 (Cùng dương):
$\begin{cases} x > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2$
Các số nguyên thỏa mãn: $x \in \{3; 4; 5; 6;...\}$
Khả năng 2 (Cùng âm):
$\begin{cases} x < 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \Rightarrow x < 0$
Các số nguyên thỏa mãn: $x \in \{-1; -2; -3; -4;...\}$
Kết luận: Khi $x > 2$ hoặc $x < 0$ thì $x^2 > 2x$.
(Thử lại:
Với $x = 3 \Rightarrow 3^2 = 9$ và $2 \cdot 3 = 6 \Rightarrow 9 > 6$ — Đúng
Với $x = -1 \Rightarrow (-1)^2 = 1$ và $2 \cdot (-1) = -2 \Rightarrow 1 > -2$ — Đúng)
TỔNG KẾT BÀI LÀM:
Với $x \in \mathbb{Z}$, ta có kết quả so sánh như sau:
Nếu $x = 0$ hoặc $x = 2$ thì $x^2 = 2x$.
Nếu $x = 1$ thì $x^2 < 2x$.
Nếu $x < 0$ hoặc $x > 2$ thì $x^2 > 2x$.