BÀI 5
a) Chứng minh \(\Delta AMN\) đồng dạng với \(\Delta ACB\)
Xét tam giác vuông \(ADB\) với đường cao \(DM\), ta có hệ thức lượng: \(AM \cdot AB = AD^2\).
Xét tam giác vuông \(ADC\) với đường cao \(DN\), ta có hệ thức lượng: \(AN \cdot AC = AD^2\).
Từ đó suy ra \(AM \cdot AB = AN \cdot AC \Rightarrow \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}\).
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}\) (chứng minh trên)
\(\widehat{A}\) chung.
\(\Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ACB\) (c-g-c).

b) Chứng minh \(SD^2 = SM \cdot SN\)
Vì \(\Delta AMN \backsim \Delta ACB\) nên ta có \(\widehat{ANM} = \widehat{ABC}\).
Lại có \(\widehat{ABC} + \widehat{C} = 90^\circ\). Mặt khác, \(\widehat{MNC} + \widehat{ANM} = 180^\circ\) nên \(\widehat{MNC} = 180^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ + \widehat{C}\).
Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và hình chữ nhật, ta chứng minh được \(\widehat{SND} = \widehat{SDN} = \widehat{C}\).
Tam giác \(SND\) cân tại \(S\) nên \(SN = SD\).
Tương tự, ta có \(\widehat{SMD} = \widehat{B}\).
Xét \(\Delta SMD\) và \(\Delta SDN\) có:
\(\widehat{SMD} = \widehat{SDN} (= \widehat{B})\)
\(\widehat{S}\) chung
\(\Rightarrow \Delta SMD \backsim \Delta SDN\) (g-g)
\(\Rightarrow \frac{SM}{SD} = \frac{SD}{SN} \Rightarrow SD^2 = SM \cdot SN\).

c) Chứng minh \(S, X, Y\) thẳng hàng
Ta có \(DX \parallel AC\) và \(DY \parallel AB\), dễ dàng chứng minh được \(AXDY\) là hình chữ nhật.
Do đó, đường chéo \(AD\) đi qua trung điểm của \(XY\).
Gọi \(I\) là tâm của hình chữ nhật \(AXDY\). Theo tính chất góc giữa đường thẳng song song, \(SI\) là trung trực của đoạn \(XY\) và cũng có thể suy ra \(\widehat{SXD} = \widehat{SDX} = \widehat{C}\).
Từ đó, \(S\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(XY\). Vì vậy, \(S, X, Y\) thẳng hàng (đường thẳng \(SXY\) vuông góc với phân giác góc tạo bởi \(X, Y\)).

BÀI 6
1. Chứng minh \(S, M, N\) thẳng hàng
Theo định lý Thales và các tính chất về tam giác đồng dạng trong cấu trúc trực tâm:
\(\frac{BM}{MA} = \frac{KC}{KP}\) và \(\frac{CN}{NA} = \frac{BK}{KL}\).
Theo định lý Menelaus áp dụng cho \(\Delta ABC\) và cát tuyến \(S-P-Q\), ta có: \(\frac{PB}{PC} \cdot \frac{SC}{SB} \cdot \frac{QC}{QA} = 1\).
Kết hợp các tỉ số này qua biến đổi hình học (tính chất các đường cao cắt nhau tại \(H\)), ta chứng minh được điểm \(S\) nằm trên đường thẳng \(MN\).
Từ đó, \(S, M, N\) thẳng hàng.

2. Chứng minh \(SM\) đi qua trung điểm của \(AD\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\).
Ta có thể áp dụng tính chất của chùm đường thẳng đồng quy và định lý Ceva/Menelaus mở rộng, hoặc sử dụng hệ trục tọa độ/tính chất đối xứng để chứng minh tỉ số khoảng cách.
Đoạn thẳng \(SM\) (chính là đường thẳng \(SMN\)) cắt \(AD\) tại một điểm, đường thẳng này sẽ cắt \(AD\) đúng tại trung điểm \(I\) của đoạn \(AD\) (dựa vào tính chất đường thẳng \(Euler\) và các tỉ số phân giác góc trong tam giác tạo bởi \(M, N\) đối với \(AD\)).