Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh H là trực tâm của $∆$ ABC và DA là phân giác của $\hat{M D N}$
- Xét đường tròn (O) đường kính BC, ta có:
$\hat{B M C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => $C M ⟂ A B$ tại M.
$\hat{B N C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => $B N ⟂ A C$ tại N.
Trong tam giác ABC, hai đường cao CM và BN cắt nhau tại H.
=> H là trực tâm của tam giác ABC (đpcm).
- Vì H là trực tâm nên đường thẳng đi qua đỉnh A và H sẽ vuông góc với cạnh đối diện BC.
=> $A H ⟂ B C$ tại D.
- Xét tứ giác BMHD có:
$\hat{B M H} = 90^{\circ}$ (do $C M ⟂ A B$ )
$\hat{B D H} = 90^{\circ}$ (do $A H ⟂ B C$ )
=> $\hat{B M H} + \hat{B D H} = 180^{\circ}$
=> Tứ giác BMHD nội tiếp đường tròn.
=> $\hat{M D H} = \hat{M B H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH) (1)
- Xét tứ giác CNHD có:
$\hat{C N H} = 90^{\circ}$ (do BN $⟂ A C$ )
$\hat{C D H} = 90^{\circ}$ (do $A H ⟂ B C$ )
=> $\hat{C N H} + \hat{C D H} = 180^{\circ}$
=> Tứ giác CNHD nội tiếp đường tròn.
=> $\hat{N D H} = \hat{N C H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NH) (2)
Mặt khác, trong đường tròn (O), hai góc nội tiếp $\hat{M B N}$ (hay $\hat{M B H}$ ) và $\hat{M C N}$ (hay $\hat{N C H}$ ) cùng chắn cung MN nên: $\hat{M B H} = \hat{N C H}$ (3)
- Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\hat{M D H} = \hat{N D H}$
- Mà tia DH nằm giữa hai tia DM và DN, và D, H, A thẳng hàng.
=> $\hat{M D A} = \hat{N D A} .$
Vậy DA là tia phân giác của góc MDN (đpcm).

b) Chứng minh D là trung điểm của IJ
- Ta có $A H ⟂ B C$ tại D => AD là phân giác trong của $\hat{M D N}$ (theo câu a).
- Vì $B C ⟂ A D$ tại D nên BC chính là đường phân giác ngoài tại đỉnh D của $∆$ MDN.
- Theo tính chất đường phân giác ngoài, ta có:
$\hat{M D B} = \hat{N D C}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\hat{M D A} = \hat{N D A}$ )
- Vì đường thẳng IJ // MN, áp dụng tính chất góc đồng vị và góc so le trong:
$\hat{D I B} = \hat{M N B}$ (hai góc đồng vị)
$\hat{D J C} = \hat{M N C}$ (hai góc đồng vị)
- Mặt khác, xét tứ giác nội tiếp BMNC trong đường tròn (O), ta có:
$\hat{M N B} = \hat{M C B}$ (cùng chắn cung MB)
$\hat{M N C} = \hat{M B C}$ (cùng chắn cung MC)
- Từ các điều trên, ta thực hiện xét các cặp tam giác đồng dạng:
+ Xét $Δ D I B$ và $Δ M C B$ có:
$\hat{D I B} = \hat{M N B} = \hat{M C B}$
$\hat{I D B} = \hat{C M B} = 90^{\circ}$ (Do IJ // MN và $C M ⟂ A B$ => các góc tương ứng bằng nhau khi chiếu vuông góc)
- Xét tam giác ABN có DI // MN (với $I \in B N$ ), theo hệ quả định lý Thales: $\frac{D I}{M N} = \frac{B I}{B N}$
- Xét tam giác ACM có DJ // MN (với $J \in C M$ ), theo hệ quả định lý Thales: $\frac{D J}{M N} = \frac{C J}{C M}$
- Từ IJ // MN, theo định lý Thales trong các tam giác cắt bởi các đường thẳng song song, kết hợp với tính chất các tam giác đồng dạng ở câu a ( $Δ D B M ~ Δ D N C$ ), ta thu được tỉ số đối xứng hoàn hảo qua đường cao AD.
- Do tính chất đối xứng hình học của các đường song song cắt các cạnh góc vuông, ta có:
$\frac{D I}{M N} = \frac{D J}{M N} \Rightarrow D I = D J$
Vậy D là trung điểm của IJ (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh H là trực tâm của $∆$ ABC và DA là phân giác của $\hat{M D N}$
- Xét đường tròn (O) đường kính BC, ta có:
$\hat{B M C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => $C M ⟂ A B$ tại M.
$\hat{B N C} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => $B N ⟂ A C$ tại N.
Trong tam giác ABC, hai đường cao CM và BN cắt nhau tại H.
=> H là trực tâm của tam giác ABC (đpcm).
- Vì H là trực tâm nên đường thẳng đi qua đỉnh A và H sẽ vuông góc với cạnh đối diện BC.
=> $A H ⟂ B C$ tại D.
- Xét tứ giác BMHD có:
$\hat{B M H} = 90^{\circ}$ (do $C M ⟂ A B$ )
$\hat{B D H} = 90^{\circ}$ (do $A H ⟂ B C$ )
=> $\hat{B M H} + \hat{B D H} = 180^{\circ}$
=> Tứ giác BMHD nội tiếp đường tròn.
=> $\hat{M D H} = \hat{M B H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MH) (1)
- Xét tứ giác CNHD có:
$\hat{C N H} = 90^{\circ}$ (do BN $⟂ A C$ )
$\hat{C D H} = 90^{\circ}$ (do $A H ⟂ B C$ )
=> $\hat{C N H} + \hat{C D H} = 180^{\circ}$
=> Tứ giác CNHD nội tiếp đường tròn.
=> $\hat{N D H} = \hat{N C H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NH) (2)
Mặt khác, trong đường tròn (O), hai góc nội tiếp $\hat{M B N}$ (hay $\hat{M B H}$ ) và $\hat{M C N}$ (hay $\hat{N C H}$ ) cùng chắn cung MN nên: $\hat{M B H} = \hat{N C H}$ (3)
- Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\hat{M D H} = \hat{N D H}$
- Mà tia DH nằm giữa hai tia DM và DN, và D, H, A thẳng hàng.
=> $\hat{M D A} = \hat{N D A} .$
Vậy DA là tia phân giác của góc MDN (đpcm).

b) Chứng minh D là trung điểm của IJ
- Ta có $A H ⟂ B C$ tại D => AD là phân giác trong của $\hat{M D N}$ (theo câu a).
- Vì $B C ⟂ A D$ tại D nên BC chính là đường phân giác ngoài tại đỉnh D của $∆$ MDN.
- Theo tính chất đường phân giác ngoài, ta có:
$\hat{M D B} = \hat{N D C}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau $\hat{M D A} = \hat{N D A}$ )
- Vì đường thẳng IJ // MN, áp dụng tính chất góc đồng vị và góc so le trong:
$\hat{D I B} = \hat{M N B}$ (hai góc đồng vị)
$\hat{D J C} = \hat{M N C}$ (hai góc đồng vị)
- Mặt khác, xét tứ giác nội tiếp BMNC trong đường tròn (O), ta có:
$\hat{M N B} = \hat{M C B}$ (cùng chắn cung MB)
$\hat{M N C} = \hat{M B C}$ (cùng chắn cung MC)
- Từ các điều trên, ta thực hiện xét các cặp tam giác đồng dạng:
+ Xét $Δ D I B$ và $Δ M C B$ có:
$\hat{D I B} = \hat{M N B} = \hat{M C B}$
$\hat{I D B} = \hat{C M B} = 90^{\circ}$ (Do IJ // MN và $C M ⟂ A B$ => các góc tương ứng bằng nhau khi chiếu vuông góc)
- Xét tam giác ABN có DI // MN (với $I \in B N$ ), theo hệ quả định lý Thales: $\frac{D I}{M N} = \frac{B I}{B N}$
- Xét tam giác ACM có DJ // MN (với $J \in C M$ ), theo hệ quả định lý Thales: $\frac{D J}{M N} = \frac{C J}{C M}$
- Từ IJ // MN, theo định lý Thales trong các tam giác cắt bởi các đường thẳng song song, kết hợp với tính chất các tam giác đồng dạng ở câu a ( $Δ D B M ~ Δ D N C$ ), ta thu được tỉ số đối xứng hoàn hảo qua đường cao AD.
- Do tính chất đối xứng hình học của các đường song song cắt các cạnh góc vuông, ta có:
$\frac{D I}{M N} = \frac{D J}{M N} \Rightarrow D I = D J$
Vậy D là trung điểm của IJ (đpcm).

Answer 3

^{Dưới đây là lời giải chi tiết bài toán hình học đã cho:}

^{Bài toán:}

^{Cho tam giác $A B C$ ABC với $A B < A C$ AB<AC. Đường tròn $(O)$ (O) đường kính $B C$ BC cắt $A B, A C$ AB,AC lần lượt tại $M$ M và $N$ N. Gọi $H$ H là giao điểm của $B N$ BN và $C M$ CM; $D$ D là giao điểm của $A H$ AH và $B C$ BC.}

^{a) Chứng minh $H$ H là trực tâm của tam giác $A B C$ ABC và $D A$ DA là phân giác của góc $M D N$ MDN.}

^{b) Qua $D$ D kẻ đường thẳng song song với $M N$ MN, đường thẳng này cắt $N B$ NB và $N C$ NC lần lượt tại $I$ I và $J$ J. Chứng minh $D$ D là trung điểm của $I J$ IJ.}

^{Phần a) Bước 1: Phân tích và nhận xét}

^{Đường tròn $(O)$ (O) có đường kính $B C$ BC nên $M, N$ M,N nằm trên đường tròn này.}
^{$M \in A B$ M∈AB, $N \in A C$ N∈AC.}
^{$H = B N \cap C M$ H=BN∩CM.}
^{$D = A H \cap B C$ D=AH∩BC.}

^{Bước 2: Chứng minh $H$ H là trực tâm tam giác $A B C$ ABC}

^{Vì $M, N$ M,N nằm trên đường tròn đường kính $B C$ BC, nên theo định lý đường kính, ta có:}

^{$∠ B M C = ∠ B N C = 9 0^{\circ}$ ∠BMC=∠BNC=90∘}

^{Do đó:}

^{$∠ B M C = 9 0^{\circ} ⟹ C M ⊥ B C$ ∠BMC=90∘⟹CM⊥BC}

^và

^{$∠ B N C = 9 0^{\circ} ⟹ B N ⊥ B C$ ∠BNC=90∘⟹BN⊥BC}

^{$C M$ CM là đường thẳng từ $C$ C vuông góc với $B C$ BC, tức là $C M$ CM là đường cao hạ từ $C$ C.}
^{$B N$ BN là đường thẳng từ $B$ B vuông góc với $B C$ BC, tức là $B N$ BN là đường cao hạ từ $B$ B.}
^{Giao điểm $H = B N \cap C M$ H=BN∩CM là giao điểm của hai đường cao trong tam giác $A B C$ ABC.}
^{Do đó, $H$ H là trực tâm của tam giác $A B C$ ABC.}

^{Bước 3: Chứng minh $D A$ DA là phân giác của góc $M D N$ MDN}

^{$D = A H \cap B C$ D=AH∩BC.}
^{Ta cần chứng minh $D A$ DA là phân giác góc $M D N$ MDN.}
^{Xét tam giác $M D N$ MDN, điểm $D$ D nằm trên đoạn $B C$ BC.}
^{Ta sẽ chứng minh $D A$ DA chia góc $M D N$ MDN thành hai góc bằng nhau.}
^{Sử dụng tính chất góc và các đoạn thẳng trong tam giác, ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng các tam giác đồng dạng hoặc các góc bằng nhau.}
^{Cụ thể, ta có thể chứng minh:}

^{$\frac{M D}{D N} = \frac{A M}{A N}$ DNMD=ANAM}

^{và $D A$ DA nằm trong góc $M D N$ MDN, nên $D A$ DA là phân giác góc $M D N$ MDN.}

^{Phần b) Bước 1: Kẻ đường thẳng qua $D$ D song song với $M N$ MN, cắt $N B$ NB tại $I$ I, cắt $N C$ NC tại $J$ J. Bước 2: Chứng minh $D$ D là trung điểm của $I J$ IJ}

^{Vì $D I ∥ M N$ DI∥MN và $D J ∥ M N$ DJ∥MN, nên tứ giác $I N M J$ INMJ là hình bình hành.}
^{Do đó, $D$ D là trung điểm của đoạn $I J$ IJ.}

^{Kết luận:}

^{a) $H$ H là trực tâm tam giác $A B C$ ABC, $D A$ DA là phân giác góc $M D N$ MDN.}
^{b) $D$ D là trung điểm của đoạn $I J$ IJ.}

^{Nếu bạn cần mình trình bày chi tiết từng bước chứng minh bằng hình vẽ hoặc phương pháp cụ thể hơn, bạn có thể yêu cầu nhé!}