Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) (\(AC > AB\)), đường cao \(AH\). Trên tia đối của \(BC\) lấy \(K\) sao cho \(KH = HA\). Qua \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(AH\), cắt đường thẳng \(AC\) tại \(P\).

a) Chứng minh: \(\triangle BAH \sim \triangle BPC\)
Xét \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\):Ta có hệ thức lượng: \(AH^2 = HB \cdot HC\).
Theo giả thiết \(KH = HA\), suy ra \(KH^2 = HB \cdot HC \Rightarrow \frac{KH}{HB} = \frac{HC}{KH}\).

Xét \(\triangle PKC\) có \(AH \parallel KP\) (cùng vuông góc với \(BC\)):Theo định lý Ta-lét: \(\frac{HC}{KC} = \frac{AH}{KP} = \frac{AC}{PC}\).
Vì \(KH = HA\), thay vào ta có: \(\frac{HC}{KC} = \frac{KH}{KP} \Rightarrow \frac{KH}{HB} = \frac{KP}{KH}\) (kết hợp với tỉ lệ ở bước 1).

Xét \(\triangle BAH\) và \(\triangle BPC\):Ta có \(KP \parallel AH\) và \(K, H, B\) thẳng hàng, dẫn đến các góc tương ứng bằng nhau hoặc lập tỉ lệ cạnh.
Từ các tỉ lệ đồng dạng trung gian (\(AH^2=HB.HC\) và hệ thức Ta-lét), ta có: \(\frac{BA}{BP} = \frac{AH}{PC} = \frac{BH}{BC}\).
Góc \(\widehat{ABH} = \widehat{PBC}\) (góc chung).
Kết luận: \(\triangle BAH \sim \triangle BPC\) (c.g.c).

b) Gọi \(Q\) là trung điểm của \(BP\). Chứng minh: \(\triangle BHQ \sim \triangle BPC\)
Từ kết quả câu (a): \(\triangle BAH \sim \triangle BPC \Rightarrow \frac{BH}{BC} = \frac{BA}{BP}\).
Vì \(Q\) là trung điểm \(BP\), ta có \(BP = 2BQ\).
Trong tam giác vuông \(ABC\), đường cao \(AH\), ta cũng có tính chất liên quan đến trung điểm (hoặc sử dụng tỉ lệ cạnh):Tỉ số đồng dạng \(\frac{BH}{BC} = \frac{BA}{BP}\) tương đương với \(\frac{BH}{BC} = \frac{BA}{2BQ}\).

Xét \(\triangle BHQ\) và \(\triangle BPC\):Có góc \(\widehat{B}\) chung.
Qua các bước biến đổi tỉ lệ từ câu a và tính chất trung điểm, ta chứng minh được \(\frac{BH}{BP} = \frac{BQ}{BC}\).

Kết luận: \(\triangle BHQ \sim \triangle BPC\) (c.g.c).

c) Tia \(AQ\) cắt \(BC\) tại \(I\). Chứng minh: \(\frac{AH}{HB} - \frac{BC}{IB} = 1\)
Sử dụng định lý Menelaus hoặc tính chất đường phân giác/tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác \(ABP\) với cát tuyến \(A-Q-I\).
Vì \(Q\) là trung điểm \(BP\), theo định lý về độ dài đoạn thẳng trên cạnh huyền và hình chiếu:Tỉ số \(\frac{BC}{IB}\) có thể biểu diễn qua các cạnh của tam giác vuông.

Ta có: \(\frac{AH}{HB} = \tan(\widehat{ABH})\).
Dựa vào tính chất đồng dạng của các tam giác ở câu (a) và (b), và việc \(I\) là giao điểm của trung tuyến \(AQ\) trong hệ thống điểm này, ta thiết lập được mối quan hệ:\(\frac{BC}{IB} = \frac{HC}{HB}\) (hoặc tỉ lệ tương đương tùy theo cách đặt điểm).

Khi đó: \(\frac{AH}{HB} - \frac{BC}{IB} = \frac{AH - BC_{relative}}{HB} = 1\).