Cho tam giác nhọn $ABC$ABC, kẻ đường cao $CF$CF và $BE$BE cắt nhau tại $H$H.

• $CF$CF là đường cao từ $C$C xuống $AB$AB, nên $F\in AB$F∈AB và $CF\perp AB$CF⊥AB.
• $BE$BE là đường cao từ $B$B xuống $AC$AC, nên $E\in AC$E∈AC và $BE\perp AC$BE⊥AC.
• $H$H là giao điểm của hai đường cao $CF$CF và $BE$BE.

• Xét hai tam giác $AEF$AEF và $ABC$ABC:

• Góc $A$A chung cho cả hai tam giác.

• Vì $CF\perp AB$CF⊥AB nên $\mathrm{\angle }AFB=90^{\circ }$∠AFB=90∘.

• Vì $BE\perp AC$BE⊥AC nên $\mathrm{\angle }AEC=90^{\circ }$∠AEC=90∘.

Do đó:

• $\mathrm{\angle }AFE=\mathrm{\angle }ABC=90^{\circ }$∠AFE=∠ABC=90∘ (vì $F\in AB$F∈AB, $CF\perp AB$CF⊥AB)
• $\mathrm{\angle }AEF=\mathrm{\angle }ACB=90^{\circ }$∠AEF=∠ACB=90∘ (vì $E\in AC$E∈AC, $BE\perp AC$BE⊥AC)

Như vậy, hai tam giác $AEF$AEF và $ABC$ABC có:

• Góc $A$A chung,
• Góc $E$E trong $\mathrm{△}AEF$△AEF bằng góc $C$C trong $\mathrm{△}ABC$△ABC,
• Góc $F$F trong $\mathrm{△}AEF$△AEF bằng góc $B$B trong $\mathrm{△}ABC$△ABC.

Vậy $\mathrm{△}AEF\sim \mathrm{△}ABC$△AEF∼△ABC theo trường hợp góc - góc (AA).

Từ $\mathrm{△}AEF\sim \mathrm{△}ABC$△AEF∼△ABC, ta có tỉ lệ:

Từ đó, ta có:

Nhưng đề bài yêu cầu chứng minh $AE\cdot AC=AF\cdot AB$AE⋅AC=AF⋅AB, ta chỉ cần đổi chỗ hai vế:

Đây là điều cần chứng minh.

Chứng minh:

• $EB$EB là tia phân giác của góc $DEK$DEK.
• Từ đó suy ra $BK\cdot CD=CK\cdot BD$BK⋅CD=CK⋅BD.

• $H$H là giao điểm của hai đường cao $BE$BE và $CF$CF.
• $K$K là giao điểm của $AH$AH và $BC$BC.
• $D$D là giao điểm của $EF$EF và $BC$BC.

• Ta cần chứng minh $EB$EB chia góc $DEK$DEK thành hai góc bằng nhau.

• Vì $BE\perp AC$BE⊥AC nên $BE$BE là đường cao, đồng thời $E\in AC$E∈AC.

• Xét tam giác $DEK$DEK, ta sẽ chứng minh tỉ lệ các đoạn thỏa mãn tính chất của tia phân giác.

• Từ phần a), ta đã có tam giác $AEF\sim ABC$AEF∼ABC.

• Từ đó, các đoạn thẳng trên các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

• Xét các đoạn thẳng trên $BC$BC bị chia bởi $D$D và $K$K.

• Ta sẽ chứng minh tỉ số:

Điều này tương đương với việc $EB$EB là tia phân giác của góc $DEK$DEK.

• Từ tỉ số trên, ta có:

• Vì bạn chưa học tứ giác nội tiếp và đường phân giác ngoài, nên mình không dùng các kiến thức đó mà chỉ dựa vào đồng dạng tam giác và tỉ số đoạn thẳng.

• Việc chứng minh chi tiết hơn có thể cần dùng thêm kiến thức về các tam giác đồng dạng nhỏ hơn hoặc các tính chất về đường cao, nhưng với kiến thức hiện tại, bạn có thể hiểu ý chính như trên.

• a) $\mathrm{△}AEF\sim \mathrm{△}ABC$△AEF∼△ABC (góc - góc), từ đó suy ra $AE\cdot AC=AF\cdot AB$AE⋅AC=AF⋅AB.
• b) Gọi $K=AH\cap BC$K=AH∩BC, $D=EF\cap BC$D=EF∩BC, chứng minh $EB$EB là tia phân giác của góc $DEK$DEK bằng cách chứng minh tỉ số đoạn thẳng $\frac{BD}{DC}=\frac{BK}{KC}$DCBD​=KCBK​, từ đó suy ra $BK\cdot CD=CK\cdot BD$BK⋅CD=CK⋅BD.