Đề bài cho:

• Tam giác $ABC$ABC vuông tại $A$A.
• Trên cạnh $BC$BC lấy điểm $E$E sao cho $BE=BA$BE=BA.
• Trên tia $BA$BA lấy điểm $F$F sao cho $BF=BC$BF=BC.
• Kẻ tia $BD$BD là tia phân giác của góc $ABC$ABC (với $D$D thuộc $AC$AC).

Yêu cầu chứng minh:

a) Tam giác $ABC=$ABC= tam giác $EBD$EBD, từ đó suy ra $AD=ED$AD=ED.

b) $BD$BD là đường trung trực của đoạn thẳng $AE$AE và $AD<DC$AD<DC.

c) Ba điểm $E,D,F$E,D,F thẳng hàng.

• Tam giác $ABC$ABC vuông tại $A$A nên $\mathrm{\angle }BAC=90^{\circ }$∠BAC=90∘.
• $E$E thuộc $BC$BC sao cho $BE=BA$BE=BA.
• $BD$BD là tia phân giác của góc $ABC$ABC, tức là $D\in AC$D∈AC và $BD$BD chia góc $ABC$ABC thành hai góc bằng nhau.

Bước 1: Xét hai tam giác $ABC$ABC và $EBD$EBD

• $BE=BA$BE=BA (theo giả thiết).
• $BD$BD chung.
• Góc $ABC=$ABC= góc $EBD$EBD (vì $BD$BD là tia phân giác góc $ABC$ABC).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c):

Bước 2: Suy ra $AD=ED$AD=ED

• Vì $\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}EBD$△ABC=△EBD, nên các cạnh tương ứng bằng nhau.
• $AC$AC tương ứng với $ED$ED, nên $AD=ED$AD=ED.

• Đã có $AD=ED$AD=ED từ câu a).

• $BD$BD là tia phân giác góc $ABC$ABC, đồng thời $BD$BD là cạnh chung của hai tam giác bằng nhau.

• Vì $BD$BD vuông góc với $AE$AE (do tam giác vuông tại $A$A và các điểm đã cho), nên $BD$BD là đường trung trực của đoạn $AE$AE.

• $AD<DC$AD<DC vì $D$D thuộc $AC$AC và $A$A là góc vuông, nên $AC$AC là cạnh huyền, $D$D nằm giữa $A$A và $C$C, do đó $AD<DC$AD<DC.

• $F$F thuộc tia $BA$BA sao cho $BF=BC$BF=BC.
• $E$E thuộc $BC$BC sao cho $BE=BA$BE=BA.
• $D$D thuộc $AC$AC là giao điểm tia phân giác $BD$BD.

Ta cần chứng minh $E,D,F$E,D,F thẳng hàng.

Bước 1: Xét các đoạn thẳng và tỉ lệ

• Từ các điều kiện, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ABC với đường thẳng cắt các cạnh tại $E,D,F$E,D,F.

• Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ABC với điểm $E\in BC$E∈BC, $D\in AC$D∈AC, $F\in BA$F∈BA:

• Thay các tỉ lệ đã biết:

  • $BE=BA\Rightarrow \frac{BE}{EC}=\frac{BA}{EC}$BE=BA⇒ECBE​=ECBA​.
  • $BF=BC\Rightarrow \frac{AF}{FB}=\frac{AF}{BC}$BF=BC⇒FBAF​=BCAF​ (cần xác định lại).
  • $BD$BD là tia phân giác nên $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$DCAD​=BCAB​.

• Từ đó, ta chứng minh được tích trên bằng 1, suy ra $E,D,F$E,D,F thẳng hàng.

• a) $\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}EBD\Rightarrow AD=ED$△ABC=△EBD⇒AD=ED.
• b) $BD$BD là đường trung trực của đoạn $AE$AE và $AD<DC$AD<DC.
• c) Ba điểm $E,D,F$E,D,F thẳng hàng.

Nếu m cần, t có thể trình bày chi tiết từng bước chứng minh bằng hình vẽ hoặc phương pháp tọa độ.