Lời giải
a) Chứng minh rằng: ∠AMB = ∠AMC

Xét hai tam giác ΔAMB và ΔAMC, ta có:

AB = AC (vì ΔABC cân tại A).
MB = MC (vì AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC).
AM là cạnh chung.
Do đó, ΔAMB = ΔAMC (theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh).

Vì hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng cũng bằng nhau. Suy ra, ∠AMB = ∠AMC (điều phải chứng minh).

(Lưu ý: Vì hai góc này kề bù và bằng nhau nên ∠AMB = ∠AMC = 180°/2 = 90°, tức là AM cũng là đường cao của tam giác ABC).

b) Chứng minh rằng AB // DC

Xét hai tam giác ΔANB và ΔCND, ta có:

NA = NC (vì N là trung điểm của AC).
NB = ND (theo giả thiết).
∠ANB = ∠CND (hai góc đối đỉnh).
Do đó, ΔANB = ΔCND (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Vì hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng cũng bằng nhau. Suy ra, ∠NAB = ∠NCD (hay ∠BAC = ∠DCA).

Hai góc này ở vị trí so le trong, và chúng bằng nhau. Vậy, AB // DC (điều phải chứng minh).

c) Chứng minh rằng các điểm C, D, I thẳng hàng

Chứng minh CI // AB: Xét tam giác ABE, ta có:

CA = CE (theo giả thiết), suy ra C là trung điểm của AE.
IB = IE (vì I là trung điểm của BE).
Do đó, CI là đường trung bình của tam giác ABE.
Suy ra, CI // AB (tính chất đường trung bình). (1)
Chứng minh CD // AB: Từ câu b, ta đã chứng minh được AB // DC. (2)
Kết luận: Từ (1) và (2), ta thấy qua điểm C có hai đường thẳng (CI và CD) cùng song song với đường thẳng AB. Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Do đó, hai đường thẳng CI và CD phải trùng nhau.
Vậy, ba điểm C, D, I thẳng hàng (điều phải chứng minh).

a) Chứng minh rằng: ∠AMB = ∠AMC

Xét hai tam giác ΔAMB và ΔAMC, ta có:

AB = AC (vì ΔABC cân tại A).
MB = MC (vì AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC).
AM là cạnh chung.
Do đó, ΔAMB = ΔAMC (theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh).

Vì hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng cũng bằng nhau. Suy ra, ∠AMB = ∠AMC (điều phải chứng minh).

(Lưu ý: Vì hai góc này kề bù và bằng nhau nên ∠AMB = ∠AMC = 180°/2 = 90°, tức là AM cũng là đường cao của tam giác ABC).

b) Chứng minh rằng AB // DC

Xét hai tam giác ΔANB và ΔCND, ta có:

NA = NC (vì N là trung điểm của AC).
NB = ND (theo giả thiết).
∠ANB = ∠CND (hai góc đối đỉnh).
Do đó, ΔANB = ΔCND (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Vì hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng cũng bằng nhau. Suy ra, ∠NAB = ∠NCD (hay ∠BAC = ∠DCA).

Hai góc này ở vị trí so le trong, và chúng bằng nhau. Vậy, AB // DC (điều phải chứng minh).

c) Chứng minh rằng các điểm C, D, I thẳng hàng

Chứng minh CI // AB: Xét tam giác ABE, ta có:

CA = CE (theo giả thiết), suy ra C là trung điểm của AE.
IB = IE (vì I là trung điểm của BE).
Do đó, CI là đường trung bình của tam giác ABE.
Suy ra, CI // AB (tính chất đường trung bình). (1)
Chứng minh CD // AB: Từ câu b, ta đã chứng minh được AB // DC. (2)
Kết luận: Từ (1) và (2), ta thấy qua điểm C có hai đường thẳng (CI và CD) cùng song song với đường thẳng AB. Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Do đó, hai đường thẳng CI và CD phải trùng nhau.
Vậy, ba điểm C, D, I thẳng hàng (điều phải chứng minh).