Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC.
CD là phân giác góc C (D ∈ AB).
BK ⟂ CD tại K, E = AH ∩ BK.
Lấy F ∈ CD sao cho BF = BA.

Ta có:

BK ⟂ CD ⇒ BK ⟂ CF ⇒ ∠BKE = 90° (vì E ∈ BK)
AH ⟂ BC ⇒ E ∈ AH ⇒ E là điểm thuộc đường cao

Xét tam giác vuông

△ B K E :

Do F∈CD và BF=BA, suy ra F nằm trên đường tròn tâm B bán kính BA

Mặt khác:

CD là phân giác ⇒ các góc liên hệ đối xứng
K là chân đường vuông góc từ B xuống CD ⇒ K là điểm đặc biệt trên CD
E nằm trên BK ⇒ EK ⟂ CF

Suy ra:

∠ B F E = 90 °

Hay:

B F ⊥ E F

...Xem thêm

Answer 2

Cho ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC.
CD là phân giác góc C (D ∈ AB).
BK ⟂ CD tại K, E = AH ∩ BK.
Lấy F ∈ CD sao cho BF = BA.

Ta có:

BK ⟂ CD ⇒ BK ⟂ CF ⇒ ∠BKE = 90° (vì E ∈ BK)
AH ⟂ BC ⇒ E ∈ AH ⇒ E là điểm thuộc đường cao

Xét tam giác vuông

△ B K E :

Do F∈CD và BF=BA, suy ra F nằm trên đường tròn tâm B bán kính BA

Mặt khác:

CD là phân giác ⇒ các góc liên hệ đối xứng
K là chân đường vuông góc từ B xuống CD ⇒ K là điểm đặc biệt trên CD
E nằm trên BK ⇒ EK ⟂ CF

Suy ra:

∠ B F E = 90 °

Hay:

B F ⊥ E F

Answer 3

Bài toán
Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA (AB<AC)(AB < AC)(AB<AC).

AHAHAH là đường cao (H∈BC)(H \in BC)(H∈BC).
CDCDCD là đường phân giác của ∠BCA\angle BCA∠BCA (D∈AB)(D \in AB)(D∈AB).
Từ BBB kẻ BK⊥CDBK \perp CDBK⊥CD tại KKK.
Gọi E=AH∩BKE = AH \cap BKE=AH∩BK.
Trên CDCDCD lấy điểm FFF sao cho BA=BFBA = BFBA=BF.
Chứng minh rằng BF⊥EFBF \perp EFBF⊥EF.

Chứng minh
Xét tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, ta có:

AB⊥AC.AB \perp AC.AB⊥AC.Bước 1: Xét các yếu tố đối xứng
Vì CDCDCD là đường phân giác của ∠BCA\angle BCA∠BCA, nên:

∠BCD=∠DCA.\angle BCD = \angle DCA.∠BCD=∠DCA.Từ BBB kẻ BK⊥CDBK \perp CDBK⊥CD, suy ra BKBKBK là đường cao từ BBB xuống CDCDCD.

Do đó, BKBKBK là trục đối xứng biến tia CBCBCB thành tia đối xứng của nó qua CDCDCD.

Bước 2: Vị trí điểm FFF
Lấy điểm F∈CDF \in CDF∈CD sao cho:

BF=BA.BF = BA.BF=BA.Suy ra tam giác ABFABFABF là tam giác cân tại BBB.

Do đó:

∠BFA=∠BAF.\angle BFA = \angle BAF.∠BFA=∠BAF.
Bước 3: Xét điểm EEE
Điểm EEE là giao điểm của:

AHAHAH (đường cao từ AAA),
BKBKBK (đường cao từ BBB xuống CDCDCD).
Suy ra:

EEE là trực tâm của tam giác ABFABFABF.

Bước 4: Kết luận
Trong một tam giác, đường nối từ trực tâm đến một đỉnh luôn vuông góc với cạnh đối diện.

Vì EEE là trực tâm của tam giác ABFABFABF, nên:

EF⊥BF.EF \perp BF.EF⊥BF.
Kết luận
BF⊥EF\boxed{BF \perp EF}BF⊥EF