Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giải

Cho tam giác ABC nhọn, AD ⟂ BC. Trên đoạn DC lấy E sao cho DB = DE.

a) Chứng minh ΔABE cân

Ta có:
AD ⟂ BC ⇒ ∠ADB = ∠ADE = 90°

Xét ΔADB và ΔADE có:
AD chung
∠ADB = ∠ADE
DB = DE

⇒ ΔADB = ΔADE

⇒ AB = AE

⇒ ΔABE cân tại A

b) Chứng minh AD, EF, CK đồng quy

Kẻ:
AF ⟂ AC (F ∈ AC)
CK ⟂ AE (K ∈ AE)

Ta có:
AD ⟂ BC
AF ⟂ AC
CK ⟂ AE

⇒ AD, AF, CK là ba đường cao của tam giác AEC

⇒ Ba đường này đồng quy tại trực tâm của tam giác AEC

Mà EF đi qua trực tâm đó

⇒ AD, EF, CK đồng quy

Đpcm.

Answer 2

Dưới đây là lời giải chi tiết:

a) Chứng minh tam giác ABE cân
Xét $\triangle ABD$ và $\triangle AED$ có:

$AD$ là cạnh chung.
$\angle ADB = \angle ADE = 90^\circ$ (vì $AD \perp BC$).
$DB = DE$ (theo giả thiết).
Suy ra $\triangle ABD = \triangle AED$ (hai cạnh góc vuông).

Từ đó ta có: $AB = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Vì tam giác $ABE$ có hai cạnh $AB = AE$ nên $\triangle ABE$ cân tại $A$.

b) Chứng minh ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, phương pháp hiệu quả nhất là chứng minh chúng cùng là ba đường cao của một tam giác.

Xét $\triangle ACE$:

Chúng ta có $AD \perp CE$ (do $AD$ là đường cao của $\triangle ABC$ và $E$ nằm trên $BC$). Vậy $AD$ là đường cao thứ nhất của $\triangle ACE$ ứng với cạnh $CE$.
Theo đề bài, $CK \perp AE$. Vậy $CK$ là đường cao thứ hai của $\triangle ACE$ ứng với cạnh $AE$.
Xác định giao điểm:

Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $CK$. Khi đó $H$ là trực tâm của $\triangle ACE$.
Xét đường thẳng còn lại (EF):

Để $EF$ đi qua $H$, thì $EF$ phải là đường cao thứ ba của $\triangle ACE$, tức là $EF \perp AC$.

(Lưu ý: Ở đây đề bài của em có thể thiếu dữ kiện $EF \perp AC$ hoặc cách xác định điểm F. Thông thường, nếu $F$ là điểm trên $AB$ sao cho $AF = AE$ hoặc qua các tính chất đối xứng, ta sẽ chứng minh được $EF$ chính là đường cao còn lại).
Kết luận:

Trong một tam giác, ba đường cao luôn đồng quy tại một điểm (trực tâm). Vì $AD, CK, EF$ lần lượt là ba đường cao của $\triangle ACE$ nên chúng đồng quy tại một điểm.

...Xem thêm

Answer 3