a) Tính CD và AD
- Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago, ta có:
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$
=> ${20}^2={16}^2+A{C}^2$
=> $400=256+A{C}^2$
=> $A{C}^2=144\Rightarrow AC=12$ cm
- Vì BD là đường phân giác của góc B (D thuộc AC), theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ: $\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$
=> $\frac{AD}{4}=\frac{CD}{5}$.
- Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, với AD + CD = AC = 12 cm:
$\frac{AD}{4}=\frac{CD}{5}=\frac{AD+CD}{4+5}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$
- Do đó:
+ AD = $4\times \frac{4}{3}=\frac{16}{3}\approx 5.33$ cm
+ $CD=5\times \frac{4}{3}=\frac{20}{3}\approx 6.67$ cm

b) Chứng minh: Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HCD
- Xét $∆$ABD và $∆$HCD, ta có:
$\widehat{BAD}=\widehat{CHD}={90}^{\circ }$ (do tam giác ABC vuông tại A và CH $\perp$ BD tại H).
$\widehat{ADB}=\widehat{CDH}$ (hai góc đối đỉnh).
=> $\mathrm{\Delta }ABD~\mathrm{\Delta }HCD$ (g.g).

c) Tính diện tích tam giác HCD
- Diện tích của tam giác vuông ABD là:
$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \frac{16}{3}=\frac{128}{3}$ cm²
- Xét tam giác vuông ABD, áp dụng định lý Pytago để tính cạnh huyền BD:
$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2={16}^2+{\left(\frac{16}{3}\right)}^2=256+\frac{256}{9}=\frac{2560}{9}$
=> $BD=\frac{16\sqrt{10}}{3}$ cm
- Vì $\mathrm{\Delta }HCD~\mathrm{\Delta }ABD$ (chứng minh ở câu b), tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số đồng dạng k là tỉ số giữa hai cạnh huyền tương ứng (CD của $∆$HCD và BD của $∆$ ABD):
$k=\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{20}{3}}{\frac{16\sqrt{10}}{3}}=\frac{20}{16\sqrt{10}}=\frac{5}{4\sqrt{10}}$
- Bình phương tỉ số đồng dạng:
$k^2={\left(\frac{5}{4\sqrt{10}}\right)}^2=\frac{25}{160}=\frac{5}{32}$
- Ta có tỉ số diện tích: $\frac{S_{HCD}}{S_{ABD}}=k^2=\frac{5}{32}$
- Vậy diện tích tam giác HCD là:
$S_{HCD}=S_{ABD}\cdot \frac{5}{32}=\frac{128}{3}\cdot \frac{5}{32}=\frac{20}{3}$ cm²
(Kết quả: $S_{HCD}\approx 6.67$ cm²)

Đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học của bạn:

a) Tính AD và CD
Bước 1: Tính độ dài cạnh AC

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lý Pitago:

$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$\Rightarrow AC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$
Bước 2: Sử dụng tính chất đường phân giác

Trong tam giác $ABC$, $BD$ là đường phân giác của góc $B$, ta có tỉ lệ:

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$
Mặt khác, ta có $AD + CD = AC = 12 \text{ cm}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{AD}{4} = \frac{CD}{5} = \frac{AD + CD}{4 + 5} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
$AD = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \approx 5,33 \text{ cm}$
$CD = 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{3} \approx 6,67 \text{ cm}$

b) Chứng minh $\triangle ABD \sim \triangle HCD$
Xét hai tam giác $ABD$ và $HCD$:

$\widehat{BAD} = \widehat{CHD} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $CH \perp BD$).
$\widehat{ADB} = \widehat{HDC}$ (hai góc đối đỉnh).
$\Rightarrow \mathbf{\triangle ABD \sim \triangle HCD}$ (Trường hợp góc - góc).

c) Tính diện tích tam giác HCD
Để tính diện tích $\triangle HCD$, trước tiên ta cần tìm diện tích $\triangle ABD$ và tỉ số đồng dạng.

Bước 1: Tính diện tích $\triangle ABD$

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{16}{3} = \frac{128}{3} \text{ cm}^2$
Bước 2: Tính độ dài cạnh $BD$

Xét tam giác vuông $ABD$:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16^2 + \left(\frac{16}{3}\right)^2} = \sqrt{256 + \frac{256}{9}} = \sqrt{\frac{2560}{9}} = \frac{16\sqrt{10}}{3} \text{ cm}$
Bước 3: Tìm tỉ số đồng dạng $k$ và tính $S_{HCD}$

Vì $\triangle ABD \sim \triangle HCD$, tỉ số đồng dạng $k$ ứng với các cạnh huyền là:

$k = \frac{CD}{BD} = \frac{20/3}{(16\sqrt{10})/3} = \frac{20}{16\sqrt{10}} = \frac{5}{4\sqrt{10}}$
Tỉ số diện tích giữa hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

$\frac{S_{HCD}}{S_{ABD}} = k^2 = \left(\frac{5}{4\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{25}{16 \cdot 10} = \frac{25}{160} = \frac{5}{32}$
Vậy diện tích tam giác $HCD$ là:

$S_{HCD} = S_{ABD} \cdot \frac{5}{32} = \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{32} = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3} \approx 6,67 \text{ cm}^2$
Đáp số:

a) $AD = \frac{16}{3} \text{ cm}$; $CD = \frac{20}{3} \text{ cm}$.
c) $S_{HCD} = \frac{20}{3} \text{ cm}^2$.