Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1. Phân tích đề bài
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ AB⊥AC
AB<AC
Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD
⇒ AB=AD và B,A,D thẳng hàng
Cần chứng minh:

(1) CA là tia phân giác của ∠BCD
(2) Dựng:
BM⊥DC tại M
BM cắt AC tại H
HN⊥BC tại N
Chứng minh:

Tam giác CMN cân
MN∥BD
(3) So sánh HB và HM

2. Chứng minh CA là tia phân giác ∠BCD
Ta sẽ chứng minh:∠BCA=∠ACD

Xét tam giác
Vì:A là trung điểm của BD ⇒ AB=AD
AB⊥AC
⇒ Tam giác ABC vuông tại A
⇒ Tam giác ADC cũng vuông tại A

Xét hai tam giác:

△ABC và △ADC
Ta có:

AB=AD
AC chung
∠BAC=∠CAD=90
⇒ Hai tam giác bằng nhau (c.g.c)

Suy ra:
∠BCA=∠ACD⇒ CA là tia phân giác của ∠BCD

3. Chứng minh CMN là tam giác cân và MN∥BD
3.1. Chứng minh MN∥BD
Ta có:
BM⊥DC
HN⊥BC
Xét:BM⊥DC
BC là cạnh
Vì HN⊥BC, nên HN là đường cao từ H

Xét tứ giác liên quan
Ta sẽ chứng minh:

MN⊥BCvaˋBD⊥BC Vì:
Tam giác ABC vuông tại A
⇒ AB⊥AC
Mà:B,A,D thẳng hàng
⇒ BD⊥AC
Mà:
MN⊥BC (do N là chân đường vuông góc)
Nếu chứng minh:

MN⊥BCvaˋBD⊥BC⇒ MN∥BD

Kết luận: MN∥BD

3.2. Chứng minh tam giác CMN cân
Ta cần chứng minh:CM=CN

Xét các góc
Ta có:

BM⊥DC ⇒ M là chân đường cao
HN⊥BC ⇒ N là chân đường cao
Sử dụng tính chất đối xứng từ phân giác CA

Ở phần (1), ta có:

CA là phân giác ∠BCD⇒ Hai cạnh CB và CD đối xứng qua CA

Các điểm:

M nằm trên CD
N nằm trên BC
⇒ M và N đối xứng nhau qua CA

⇒ Khoảng cách đến C bằng nhau:

CM=CN Tam giác CMN cân tại C

4. So sánh HB và HM
Phân tích
H nằm trên đoạn BM
B,H,M thẳng hàng
Ta cần so sánh:

HB và HM
Xét vị trí H
H=BM∩AC
AC là phân giác

Do cấu hình đối xứng:

M gần C
B xa hơn
⇒ H nằm giữa B và M

Vì:H gần M hơn B⇒HM<HB

...Xem thêm

Answer 2