Giải bài tập Hình học: Tam giác và Đường thẳng song song
Giả thiết:

$\triangle ABC$, $M$ là trung điểm của $AC$ ($MA = MC$).
$D$ thuộc tia đối của tia $MB$ sao cho $MB = MD$.
$N$ thuộc tia đối của tia $CD$ sao cho $CD = CN$.

a) Chứng minh $\triangle AMB = \triangle CMD$
Xét $\triangle AMB$ và $\triangle CMD$ có:

$MA = MC$ (vì $M$ là trung điểm của $AC$).
$\widehat{AMB} = \widehat{CMD}$ (hai góc đối đỉnh).
$MB = MD$ (theo giả thiết).
Kết luận: $\triangle AMB = \triangle CMD$ (cạnh - góc - cạnh).

b) Chứng minh $AB // CD$
Từ chứng minh câu a, ta có: $\triangle AMB = \triangle CMD$.
Suy ra: $\widehat{MAB} = \widehat{MCD}$ (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy $AB // CD$ (đpcm).

c) Chứng minh $BN // AC$
Để chứng minh $BN // AC$, chúng ta sẽ chứng minh $\triangle BCN = \triangle CAD$ hoặc sử dụng tính chất bắc cầu qua các tam giác bằng nhau.

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$ có:

$AC$ là cạnh chung.
$\widehat{ACB} = \widehat{CAD}$ (vì $BC // AD$ - hệ quả từ việc $\triangle BMC = \triangle DMA$).
$BC = AD$ (hai cạnh tương ứng của $\triangle BMC = \triangle DMA$).
Suy ra: $\triangle ABC = \triangle CDA$ (c.g.c).
Do đó: $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng).
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle NCB$ có:

Theo giả thiết $CD = CN$, mà ta vừa chứng minh $AB = CD$, nên $AB = CN$.
Vì $AB // CD$ (câu b) nên $AB // CN$.
Suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{BCN}$ (hai góc so le trong).
$BC$ là cạnh chung.
Kết luận:

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle NCB$ có: $AB = CN$, $\widehat{ABC} = \widehat{BCN}$, $BC$ chung.
Vậy $\triangle ABC = \triangle NCB$ (c.g.c).
Suy ra: $\widehat{ACB} = \widehat{CBN}$ (hai góc tương ứng).
Vì hai góc này ở vị trí so le trong nên $BN // AC$ (đpcm).