BÀI GIẢI CHI TIẾT
a) Chứng minh $DF$ là tiếp tuyến của $(O)$
Tính chất đối xứng: Ta có $AB \perp CD$ tại $H$ (giả thiết $CH$ là đường cao). Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó. Suy ra $H$ là trung điểm của $CD$.
Đường trung trực: Vì $AB \perp CD$ tại trung điểm $H$ nên $AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $CD$.
Cạnh bằng nhau: Vì $F \in AB$ nên $FC = FD$ (tính chất điểm thuộc đường trung trực).
Xét hai tam giác: Xét $\triangle FCO$ và $\triangle FDO$ có:

$OC = OD = R$
$OF$ là cạnh chung
$FC = FD$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \triangle FCO = \triangle FDO$ (c.c.c)
Kết luận: Suy ra $\widehat{FDO} = \widehat{FCO}$. Mà $MC$ là tiếp tuyến nên $\widehat{FCO} = 90^\circ$. Vậy $\widehat{FDO} = 90^\circ \Rightarrow FD \perp OD$ tại $D$. Vậy $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

b) Chứng minh $CF \cdot BH = BF \cdot CH$
Cách giải nhanh nhất là sử dụng tam giác đồng dạng:

Xét $\triangle CHB$ và $\triangle CAB$:

Hai tam giác vuông này có chung góc $B$.
$\Rightarrow \triangle CHB \sim \triangle CAB$ (g.g)
Tỉ số: $\frac{CH}{AC} = \frac{BH}{BC} \Rightarrow \frac{AC}{BC} = \frac{CH}{BH}$ (1)
Xét $\triangle FAC$ và $\triangle FCB$:

Góc $\widehat{F}$ chung.
$\widehat{FCA} = \widehat{FBC}$ (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $AC$ bằng góc nội tiếp chắn cung $AC$).
$\Rightarrow \triangle FAC \sim \triangle FCB$ (g.g)
Tỉ số: $\frac{FC}{FB} = \frac{AC}{BC}$ (2)
Bắc cầu và kết luận:

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{FC}{FB} = \frac{CH}{BH}$
Nhân chéo: $CF \cdot BH = BF \cdot CH$ (đpcm).