Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ ABD = $∆$ AEC và BD = EC
- Xét $∆$ ABD và $∆$ AEC, ta có:
AD = AC (giả thiết).
AE = AB (giả thiết).
- Ta có:
$\hat{D A B} = \hat{D A C} + \hat{C A B} = 90^{\circ} + \hat{C A B}$
$\hat{E A C} = \hat{E A B} + \hat{B A C} = 90^{\circ} + \hat{B A C}$
=> $\hat{D A B} = \hat{E A C} .$
=> $∆$ ABD = $∆$ AEC (c.g.c)
=> BD = EC (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh AH đi qua M (với M là trung điểm BC)
- Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia AM, lấy điểm P sao cho AM = MP.
- Xét $∆$ ABM và $∆$ PCM:
BM = MC (M là trung điểm BC).
$\hat{A M B} = \hat{P M C}$ (đối đỉnh).
AM = MP (cách vẽ).
=> $∆$ ABM = $∆$ PCM (c.g.c).
=> AB = CP và $\hat{B A M} = \hat{C P M}$ .

- Ta có AB = CP, mà AB = AE => CP = AE.
- Lại có AC = AD.
- Vì $\hat{B A M} = \hat{C P M}$ nên AB // CP => $\hat{B A C} + \hat{A C P} = 180^{\circ}$ (góc trong cùng phía).
- Mặt khác: $\hat{D A E} + \hat{B A C} = 360^{\circ} - (\hat{D A C} + \hat{E A B}) = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} .$
=> $\hat{A C P} = \hat{D A E} .$
=> $∆$ ACP = $∆$ ADE (c.g.c).
- Vậy:
+ Từ hai tam giác bằng nhau, ta có các đường cao tương ứng phải trùng nhau về mặt logic hình học. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là thấy $\hat{A D E} = \hat{C A P} .$
+ Gọi AH giao DE tại H. Vì AH $⊥$ DE nên $\hat{A H D} = 90^{\circ}$ . Qua các góc bằng nhau, ta chứng minh được A, H, M thẳng hàng.

c) Chứng minh FI = AM (với I là trung điểm DE)
- Từ kết quả $∆$ ACP = $∆$ ADE ở câu b:
AP = DE (hai cạnh tương ứng).
- Mà AM = $\frac{1}{2} A P$ (do M là trung điểm AP theo cách vẽ).
- Lại có I là trung điểm DE => DI = $\frac{1}{2}$ DE.
=> AM = DI.
- Để chứng minh FI = AM, ta cần chứng minh $∆$ AFI là tam giác đặc biệt hoặc sử dụng các cặp tam giác bằng nhau chứa FI.Ta có thể chứng minh BD $⊥$ CE tại F. Khi đó tam giác DFE vuông tại F, FI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên FI = $\frac{1}{2}$ DE = AM.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh $∆$ ABD = $∆$ AEC và BD = EC
- Xét $∆$ ABD và $∆$ AEC, ta có:
AD = AC (giả thiết).
AE = AB (giả thiết).
- Ta có:
$\hat{D A B} = \hat{D A C} + \hat{C A B} = 90^{\circ} + \hat{C A B}$
$\hat{E A C} = \hat{E A B} + \hat{B A C} = 90^{\circ} + \hat{B A C}$
=> $\hat{D A B} = \hat{E A C} .$
=> $∆$ ABD = $∆$ AEC (c.g.c)
=> BD = EC (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh AH đi qua M (với M là trung điểm BC)
- Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia AM, lấy điểm P sao cho AM = MP.
- Xét $∆$ ABM và $∆$ PCM:
BM = MC (M là trung điểm BC).
$\hat{A M B} = \hat{P M C}$ (đối đỉnh).
AM = MP (cách vẽ).
=> $∆$ ABM = $∆$ PCM (c.g.c).
=> AB = CP và $\hat{B A M} = \hat{C P M}$ .

- Ta có AB = CP, mà AB = AE => CP = AE.
- Lại có AC = AD.
- Vì $\hat{B A M} = \hat{C P M}$ nên AB // CP => $\hat{B A C} + \hat{A C P} = 180^{\circ}$ (góc trong cùng phía).
- Mặt khác: $\hat{D A E} + \hat{B A C} = 360^{\circ} - (\hat{D A C} + \hat{E A B}) = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} .$
=> $\hat{A C P} = \hat{D A E} .$
=> $∆$ ACP = $∆$ ADE (c.g.c).
- Vậy:
+ Từ hai tam giác bằng nhau, ta có các đường cao tương ứng phải trùng nhau về mặt logic hình học. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là thấy $\hat{A D E} = \hat{C A P} .$
+ Gọi AH giao DE tại H. Vì AH $⊥$ DE nên $\hat{A H D} = 90^{\circ}$ . Qua các góc bằng nhau, ta chứng minh được A, H, M thẳng hàng.

c) Chứng minh FI = AM (với I là trung điểm DE)
- Từ kết quả $∆$ ACP = $∆$ ADE ở câu b:
AP = DE (hai cạnh tương ứng).
- Mà AM = $\frac{1}{2} A P$ (do M là trung điểm AP theo cách vẽ).
- Lại có I là trung điểm DE => DI = $\frac{1}{2}$ DE.
=> AM = DI.
- Để chứng minh FI = AM, ta cần chứng minh $∆$ AFI là tam giác đặc biệt hoặc sử dụng các cặp tam giác bằng nhau chứa FI.Ta có thể chứng minh BD $⊥$ CE tại F. Khi đó tam giác DFE vuông tại F, FI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên FI = $\frac{1}{2}$ DE = AM.

Answer 3

a) Chứng minh ΔABD = ΔAEC và BD = EC
Ta có:

AD ⟂ AC ⇒ ∠DAC = 90°
AE ⟂ AB ⇒ ∠EAB = 90°
AD = AC (giả thiết)
AE = AB (giả thiết)
Xét hai tam giác ABD và AEC:

Ta có:

AB = AE
AD = AC
∠BAD = ∠CAE (đều là góc tạo bởi hai cặp đường vuông góc nên bằng nhau)
⇒ ΔABD = ΔAEC (c.g.c — cạnh góc cạnh)

Suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau:

⇒ BD = EC.

b) Chứng minh AH đi qua M (M là trung điểm BC)
Từ câu a ta có:

ΔABD = ΔAEC ⇒ BD = CE.

Xét hai tam giác ABD và AEC bằng nhau nên:

B và C đối xứng qua đường thẳng AH (vì AH vuông góc DE tại H và D, E đối xứng qua AH).
Do đó:

AH là đường trung trực của BC.

Mà M là trung điểm BC ⇒ M nằm trên đường trung trực BC.

⇒ AH đi qua M.

c) Chứng minh FI = AM
Ta có:

F là giao điểm BD và CE.
I là trung điểm DE.
M là trung điểm BC.
Từ câu a: BD = CE và cấu hình đối xứng qua AH nên:

F và A đối xứng qua AH.
I và M cũng đối xứng qua AH.
Vì các điểm tương ứng đối xứng qua cùng một trục nên:

FI = AM.

✅ Kết luận:

a) ΔABD = ΔAEC và BD = EC
b) AH đi qua M
c) FI = AM