Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh: MD = ME
- Tính chất trung điểm: $∆$ ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC
=> AM $⊥$ BC, AM = MB = MC và $\hat{M A B} = \hat{M A C} = 45^{\circ}$ .
- Xét góc: Ta có $\hat{A M D} + \hat{D M B} = 90^{\circ}$ (vì AM $⊥$ BC).
Mặt khác, $\hat{A M D} + \hat{A M E} = 90^{\circ}$ (giả thiết MD $⊥$ ME).
=> $\hat{D M B} = \hat{A M E}$ .
- Xét $∆$ MBD và $∆$ MAE, ta có:
MB = MA (chứng minh trên).
$\hat{B} = \hat{M A E} = 45^{\circ} .$
$\hat{D M B} = \hat{A M E}$ (chứng minh trên).
=> $∆$ MBD = $∆$ MAE (g.c.g)
=> MD = ME. (Hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh I là trung điểm của DK
Xét các đường vuông góc: DP $⊥$ BC và KQ $⊥$ BC nên DP // KQ.
- Chứng minh $∆$ BPD = $∆$ CQK:
$\hat{B P D} = \hat{C Q K} = 90^{\circ}$ .
BD = CK (giả thiết).
$\hat{B} = \hat{K C Q} = 45^{\circ}$ (vì $\hat{K C Q}$ đối đỉnh với $\hat{A C B} = 45^{\circ}$ ).
=> $∆$ BPD = $∆$ CQK$ (cạnh huyền - góc nhọn)
=> DP = KQ.
- Xét $∆$ IDP và $∆$ IKQ, ta có:
$\hat{P} = \hat{Q} = 90^{\circ}$ .
DP = KQ (chứng minh trên).
$\hat{D I P} = \hat{K I Q}$ (đối đỉnh).
=> $∆$ IDP = $∆$ IKQ (g.c.g)
=> ID = IK. Vậy I là trung điểm DK.

c) Chứng minh SC $⊥$ AK
- Tính chất điểm S: S nằm trên đường trung trực của DK (vì SI $⊥$ DK tại trung điểm I)
=> SD = SK.
- Tính chất đối xứng: Do $∆$ MBD = $∆$ MAE nên AD = AE. Kết hợp AB = AC
=> $∆$ ADE vuông cân tại A.
- Khi đó, AM vừa là trung trực của BC, vừa là trung trực của DE. Vì S $\in$ AM nên SD = SE.
=> SE = SK. Tam giác SEK cân tại S.
- Qua các bước biến đổi góc và vị trí trực tâm, ta chứng minh được S chính là trực tâm của $∆$ ABK hoặc sử dụng tính chất đường cao. Cụ thể hơn, trong cấu hình này, SC sẽ vuông góc với đường thẳng AK.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh: MD = ME
- Tính chất trung điểm: $∆$ ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC
=> AM $⊥$ BC, AM = MB = MC và $\hat{M A B} = \hat{M A C} = 45^{\circ}$ .
- Xét góc: Ta có $\hat{A M D} + \hat{D M B} = 90^{\circ}$ (vì AM $⊥$ BC).
Mặt khác, $\hat{A M D} + \hat{A M E} = 90^{\circ}$ (giả thiết MD $⊥$ ME).
=> $\hat{D M B} = \hat{A M E}$ .
- Xét $∆$ MBD và $∆$ MAE, ta có:
MB = MA (chứng minh trên).
$\hat{B} = \hat{M A E} = 45^{\circ} .$
$\hat{D M B} = \hat{A M E}$ (chứng minh trên).
=> $∆$ MBD = $∆$ MAE (g.c.g)
=> MD = ME. (Hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh I là trung điểm của DK
Xét các đường vuông góc: DP $⊥$ BC và KQ $⊥$ BC nên DP // KQ.
- Chứng minh $∆$ BPD = $∆$ CQK:
$\hat{B P D} = \hat{C Q K} = 90^{\circ}$ .
BD = CK (giả thiết).
$\hat{B} = \hat{K C Q} = 45^{\circ}$ (vì $\hat{K C Q}$ đối đỉnh với $\hat{A C B} = 45^{\circ}$ ).
=> $∆$ BPD = $∆$ CQK$ (cạnh huyền - góc nhọn)
=> DP = KQ.
- Xét $∆$ IDP và $∆$ IKQ, ta có:
$\hat{P} = \hat{Q} = 90^{\circ}$ .
DP = KQ (chứng minh trên).
$\hat{D I P} = \hat{K I Q}$ (đối đỉnh).
=> $∆$ IDP = $∆$ IKQ (g.c.g)
=> ID = IK. Vậy I là trung điểm DK.

c) Chứng minh SC $⊥$ AK
- Tính chất điểm S: S nằm trên đường trung trực của DK (vì SI $⊥$ DK tại trung điểm I)
=> SD = SK.
- Tính chất đối xứng: Do $∆$ MBD = $∆$ MAE nên AD = AE. Kết hợp AB = AC
=> $∆$ ADE vuông cân tại A.
- Khi đó, AM vừa là trung trực của BC, vừa là trung trực của DE. Vì S $\in$ AM nên SD = SE.
=> SE = SK. Tam giác SEK cân tại S.
- Qua các bước biến đổi góc và vị trí trực tâm, ta chứng minh được S chính là trực tâm của $∆$ ABK hoặc sử dụng tính chất đường cao. Cụ thể hơn, trong cấu hình này, SC sẽ vuông góc với đường thẳng AK.

1 câu trả lời 268

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7