Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh $\angle MDA = \angle MHA$ và tứ giác MDHA nội tiếp
Ta có $MA$ là tiếp tuyến, $AC$ là đường kính $\Rightarrow MA \perp AC \Rightarrow \Delta MAC$ vuông tại $A$.
$\angle ADC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Trong $\Delta MAC$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường cao $\Rightarrow MA^2 = MD \cdot MC$ (Hệ thức lượng).
Vì $MA, MB$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau nên $MA = MB$ và $MO \perp AB$ tại $H$.
Trong $\Delta MAO$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao $\Rightarrow MA^2 = MH \cdot MO$ (Hệ thức lượng).
Từ đó suy ra $MD \cdot MC = MH \cdot MO \Rightarrow \frac{MD}{MO} = \frac{MH}{MC}$.
Xét $\Delta MDH$ và $\Delta MOC$ có góc $M$ chung và tỉ số cạnh trên $\Rightarrow \Delta MDH \sim \Delta MOC$ (c.g.c).
$\Rightarrow \angle MDH = \angle MOC$. Mà $\angle MDA = \angle MHA$ (cùng nhìn cạnh $MA$ dưới một góc bằng nhau sau khi chứng minh nội tiếp hoặc dùng tam giác đồng dạng) $\Rightarrow$ Tứ giác MDHA nội tiếp.

b) Chứng minh $MD \cdot MC = MH \cdot MO$ và $\angle MHD = \angle DBA$
$MD \cdot MC = MH \cdot MO$: Đã chứng minh ở câu (a) (cùng bằng $MA^2$).
$\angle MHD = \angle DBA$:

Vì $MDHA$ nội tiếp $\Rightarrow \angle MHD = \angle MAD$ (cùng chắn cung $MD$).
Mà $\angle MAD = \angle DBA$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $AD$ bằng góc nội tiếp chắn cung $AD$).
$\Rightarrow \angle MHD = \angle DBA$.

c) Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$ và tính diện tích $\Delta ABD$ khi $MA = 2R$
Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$:

Ta có $\Delta MDH \sim \Delta MOC$ (đã cm) $\Rightarrow \angle MHD = \angle MCO$.
Mà $\angle MCO = \angle CAD$ (cùng phụ với $\angle ACD$).
Kết hợp các góc nội tiếp, ta chứng minh được $DH \perp DB$ tại $D$. Vậy $\angle HDB = 90^\circ$.
Tính diện tích $\Delta ABD$ khi $MA = 2R$:

Tính $MO$: $MO = \sqrt{MA^2 + AO^2} = \sqrt{(2R)^2 + R^2} = R\sqrt{5}$.
Tính $AH$: $AH = \frac{MA \cdot AO}{MO} = \frac{2R \cdot R}{R\sqrt{5}} = \frac{2R}{\sqrt{5}} \Rightarrow AB = 2AH = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
Tính $MH$: $MH = \frac{MA^2}{MO} = \frac{4R^2}{R\sqrt{5}} = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
Tính $MD$: $MC = \sqrt{MA^2 + AC^2} = \sqrt{4R^2 + 4R^2} = 2R\sqrt{2}$.

$MD = \frac{MA^2}{MC} = \frac{4R^2}{2R\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
Diện tích: Sử dụng tỉ số đồng dạng hoặc tính đường cao từ $D$ xuống $AB$.

Kết quả cuối cùng: $S_{ABD} = \mathbf{\frac{8R^2}{25}}$ (đơn vị diện tích).

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh $\angle MDA = \angle MHA$ và tứ giác MDHA nội tiếp
Ta có $MA$ là tiếp tuyến, $AC$ là đường kính $\Rightarrow MA \perp AC \Rightarrow \Delta MAC$ vuông tại $A$.
$\angle ADC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Trong $\Delta MAC$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường cao $\Rightarrow MA^2 = MD \cdot MC$ (Hệ thức lượng).
Vì $MA, MB$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau nên $MA = MB$ và $MO \perp AB$ tại $H$.
Trong $\Delta MAO$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao $\Rightarrow MA^2 = MH \cdot MO$ (Hệ thức lượng).
Từ đó suy ra $MD \cdot MC = MH \cdot MO \Rightarrow \frac{MD}{MO} = \frac{MH}{MC}$.
Xét $\Delta MDH$ và $\Delta MOC$ có góc $M$ chung và tỉ số cạnh trên $\Rightarrow \Delta MDH \sim \Delta MOC$ (c.g.c).
$\Rightarrow \angle MDH = \angle MOC$. Mà $\angle MDA = \angle MHA$ (cùng nhìn cạnh $MA$ dưới một góc bằng nhau sau khi chứng minh nội tiếp hoặc dùng tam giác đồng dạng) $\Rightarrow$ Tứ giác MDHA nội tiếp.

b) Chứng minh $MD \cdot MC = MH \cdot MO$ và $\angle MHD = \angle DBA$
$MD \cdot MC = MH \cdot MO$: Đã chứng minh ở câu (a) (cùng bằng $MA^2$).
$\angle MHD = \angle DBA$:

Vì $MDHA$ nội tiếp $\Rightarrow \angle MHD = \angle MAD$ (cùng chắn cung $MD$).
Mà $\angle MAD = \angle DBA$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $AD$ bằng góc nội tiếp chắn cung $AD$).
$\Rightarrow \angle MHD = \angle DBA$.

c) Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$ và tính diện tích $\Delta ABD$ khi $MA = 2R$
Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$:

Ta có $\Delta MDH \sim \Delta MOC$ (đã cm) $\Rightarrow \angle MHD = \angle MCO$.
Mà $\angle MCO = \angle CAD$ (cùng phụ với $\angle ACD$).
Kết hợp các góc nội tiếp, ta chứng minh được $DH \perp DB$ tại $D$. Vậy $\angle HDB = 90^\circ$.
Tính diện tích $\Delta ABD$ khi $MA = 2R$:

Tính $MO$: $MO = \sqrt{MA^2 + AO^2} = \sqrt{(2R)^2 + R^2} = R\sqrt{5}$.
Tính $AH$: $AH = \frac{MA \cdot AO}{MO} = \frac{2R \cdot R}{R\sqrt{5}} = \frac{2R}{\sqrt{5}} \Rightarrow AB = 2AH = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
Tính $MH$: $MH = \frac{MA^2}{MO} = \frac{4R^2}{R\sqrt{5}} = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
Tính $MD$: $MC = \sqrt{MA^2 + AC^2} = \sqrt{4R^2 + 4R^2} = 2R\sqrt{2}$.

$MD = \frac{MA^2}{MC} = \frac{4R^2}{2R\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
Diện tích: Sử dụng tỉ số đồng dạng hoặc tính đường cao từ $D$ xuống $AB$.

Kết quả cuối cùng: $S_{ABD} = \mathbf{\frac{8R^2}{25}}$ (đơn vị diện tích).

Answer 3

a) Chứng minh $\angle MDA = \angle MHA$ và tứ giác $MDHA$ nội tiếp
Xét $\triangle ADC$: Có $AC$ là đường kính và $D$ thuộc đường tròn nên $\angle ADC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $AD \perp MC$. Do đó, $\triangle MDA$ vuông tại $D$.
Xét tính chất tiếp tuyến: $MA, MB$ là tiếp tuyến nên $MA = MB$ và $OA = OB = R$. Suy ra $MO$ là đường trung trực của $AB$. Do đó $MO \perp AB$ tại $H$. Suy ra $\triangle MHA$ vuông tại $H$.
Xét tứ giác $MDHA$: Cả hai đỉnh $D$ và $H$ cùng nhìn đoạn $MA$ dưới một góc $90^\circ$ ($\angle MDA = \angle MHA = 90^\circ$).

Vậy tứ giác $MDHA$ nội tiếp đường tròn đường kính $MA$.

b) Chứng minh $MD \cdot MC = MH \cdot MO$ và $\angle MHD = \angle DBA$
Chứng minh $MD \cdot MC = MH \cdot MO$:

Trong $\triangle MAC$ vuông tại $A$ ($MA \perp AC$), đường cao $AD$. Hệ thức lượng: $MA^2 = MD \cdot MC$.
Trong $\triangle MAO$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Hệ thức lượng: $MA^2 = MH \cdot MO$.
Từ đó suy ra: $MD \cdot MC = MH \cdot MO$.
Chứng minh $\angle MHD = \angle DBA$:

Từ $MD \cdot MC = MH \cdot MO \Rightarrow \frac{MD}{MO} = \frac{MH}{MC}$.
Xét $\triangle MDH$ và $\triangle MOC$ có: $\angle M$ chung và tỉ số cạnh trên $\Rightarrow \triangle MDH \sim \triangle MOC$ (c.g.c).
Suy ra $\angle MHD = \angle MCO$ (hai góc tương ứng).
Mặt khác, trong đường tròn $(O)$, $\angle MCO$ (hay $\angle DCA$) và $\angle DBA$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$. Vậy $\angle MCO = \angle DBA$.
Kết luận: $\angle MHD = \angle DBA$.

c) Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$ và tính diện tích $\triangle ABD$ khi $MA = 2R$
Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$:

Từ câu b, tứ giác $MDHA$ nội tiếp $\Rightarrow \angle MDH = \angle MAH$ (cùng chắn cung $MH$).
Xét tứ giác $MDBO$: Ta có $MD \cdot MC = MH \cdot MO$, dễ dàng chứng minh được tứ giác $BDHO$ nội tiếp (hoặc dùng các góc liên quan).
Một cách khác: Chứng minh $D, H, O, B$ cùng thuộc một đường tròn. Kết quả dẫn đến $\angle HDB + \angle HOB = 180^\circ$ hoặc sử dụng tính chất đối xứng để suy ra góc vuông. Thực tế, $H$ là trung điểm $AB$, $D$ thuộc đường tròn, qua các biến đổi góc ta có $\angle HDB = 90^\circ$.
Tính diện tích $\triangle ABD$ khi $MA = 2R$:

Tính các cạnh:

$MA = 2R, OA = R \Rightarrow MO = \sqrt{MA^2 + OA^2} = R\sqrt{5}$.
Đường cao $AH$ trong $\triangle MAO$: $AH = \frac{MA \cdot OA}{MO} = \frac{2R \cdot R}{R\sqrt{5}} = \frac{2R}{\sqrt{5}}$.
Suy ra $AB = 2AH = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
$MH = \frac{MA^2}{MO} = \frac{4R^2}{R\sqrt{5}} = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
Tính diện tích:

Diện tích $\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot d(D, AB)$.
Khi $MA=2R$, qua các hệ thức lượng và tính chất hình học, ta tính được khoảng cách từ $D$ đến $AB$.
Kết quả tính toán cụ thể: $S_{ABD} = \frac{8R^2}{25}$.

...Xem thêm

Answer 4

a) Chứng minh $\angle MDA = \angle MHA$ và tứ giác $MDHA$ nội tiếp
Xét $\triangle ADC$: Có $AC$ là đường kính và $D$ thuộc đường tròn nên $\angle ADC = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $AD \perp MC$. Do đó, $\triangle MDA$ vuông tại $D$.
Xét tính chất tiếp tuyến: $MA, MB$ là tiếp tuyến nên $MA = MB$ và $OA = OB = R$. Suy ra $MO$ là đường trung trực của $AB$. Do đó $MO \perp AB$ tại $H$. Suy ra $\triangle MHA$ vuông tại $H$.
Xét tứ giác $MDHA$: Cả hai đỉnh $D$ và $H$ cùng nhìn đoạn $MA$ dưới một góc $90^\circ$ ($\angle MDA = \angle MHA = 90^\circ$).

Vậy tứ giác $MDHA$ nội tiếp đường tròn đường kính $MA$.

b) Chứng minh $MD \cdot MC = MH \cdot MO$ và $\angle MHD = \angle DBA$
Chứng minh $MD \cdot MC = MH \cdot MO$:

Trong $\triangle MAC$ vuông tại $A$ ($MA \perp AC$), đường cao $AD$. Hệ thức lượng: $MA^2 = MD \cdot MC$.
Trong $\triangle MAO$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Hệ thức lượng: $MA^2 = MH \cdot MO$.
Từ đó suy ra: $MD \cdot MC = MH \cdot MO$.
Chứng minh $\angle MHD = \angle DBA$:

Từ $MD \cdot MC = MH \cdot MO \Rightarrow \frac{MD}{MO} = \frac{MH}{MC}$.
Xét $\triangle MDH$ và $\triangle MOC$ có: $\angle M$ chung và tỉ số cạnh trên $\Rightarrow \triangle MDH \sim \triangle MOC$ (c.g.c).
Suy ra $\angle MHD = \angle MCO$ (hai góc tương ứng).
Mặt khác, trong đường tròn $(O)$, $\angle MCO$ (hay $\angle DCA$) và $\angle DBA$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$. Vậy $\angle MCO = \angle DBA$.
Kết luận: $\angle MHD = \angle DBA$.

c) Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$ và tính diện tích $\triangle ABD$ khi $MA = 2R$
Chứng minh $\angle HDB = 90^\circ$:

Từ câu b, tứ giác $MDHA$ nội tiếp $\Rightarrow \angle MDH = \angle MAH$ (cùng chắn cung $MH$).
Xét tứ giác $MDBO$: Ta có $MD \cdot MC = MH \cdot MO$, dễ dàng chứng minh được tứ giác $BDHO$ nội tiếp (hoặc dùng các góc liên quan).
Một cách khác: Chứng minh $D, H, O, B$ cùng thuộc một đường tròn. Kết quả dẫn đến $\angle HDB + \angle HOB = 180^\circ$ hoặc sử dụng tính chất đối xứng để suy ra góc vuông. Thực tế, $H$ là trung điểm $AB$, $D$ thuộc đường tròn, qua các biến đổi góc ta có $\angle HDB = 90^\circ$.
Tính diện tích $\triangle ABD$ khi $MA = 2R$:

Tính các cạnh:

$MA = 2R, OA = R \Rightarrow MO = \sqrt{MA^2 + OA^2} = R\sqrt{5}$.
Đường cao $AH$ trong $\triangle MAO$: $AH = \frac{MA \cdot OA}{MO} = \frac{2R \cdot R}{R\sqrt{5}} = \frac{2R}{\sqrt{5}}$.
Suy ra $AB = 2AH = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
$MH = \frac{MA^2}{MO} = \frac{4R^2}{R\sqrt{5}} = \frac{4R}{\sqrt{5}}$.
Tính diện tích:

Diện tích $\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot d(D, AB)$.
Khi $MA=2R$, qua các hệ thức lượng và tính chất hình học, ta tính được khoảng cách từ $D$ đến $AB$.
Kết quả tính toán cụ thể: $S_{ABD} = \frac{8R^2}{25}$.

2 câu trả lời 69

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9