Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

- Vẽ thêm đường phụ: Trên tia đối của tia AH, lấy điểm K sao cho AK = BC
- Xét mối quan hệ giữa các góc, ta có:

$\hat{D A E}$ = $360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \hat{B A C}$ = $180^{\circ} - \hat{B A C}$ .
Vì AH $⊥$ BC, gọi $\hat{B A H} = α$ và $\hat{C A H} = β$ . Khi đó $\hat{B A C} = α + β$ .
- Tuy nhiên, cách dễ hơn là xét góc trong $∆$ ABC: $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180^{\circ} - \hat{B A C}$ .
- Xét $\hat{K A D}$ : Vì AK là đường thẳng chứa độ cao AH, nên $\hat{K A D} + \hat{D A B} + \hat{B A H} = 180^{\circ} .$
=> $\hat{K A D} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \hat{B A H} = 90^{\circ} - \hat{B A H} = \hat{A B H}$ (vì $∆$ ABH vuông tại H).
Tương tự, ta có $\hat{K A E} = \hat{A C H}$ .
- Xét $∆$ KAD và $∆$ BCD: Cách này hơi phức tạp. Hãy quay lại xét trực tiếp $∆$ KAE và $∆$ ABC.
- Thực tế, ta sẽ chứng minh $∆$ ADE = $∆$ KAC là không đúng, mà ta xét $∆$ DAE và $∆$ ABC có mối liên hệ đặc biệt.
- Xét $∆$ DAE và $∆$ KAB:
AD = AB (gt).
AE = AC (gt).
$\hat{D A E} = 180^{\circ} - \hat{B A C}$ (tổng các góc quanh điểm A).
Gọi M là giao điểm của AH và DE. Ta cần chứng minh M là trung điểm DE.
- Kẻ DX $⊥$ AM tại X và EY $⊥$ AM tại Y (AM là đường thẳng AH).
- Xét $∆$ DXA và $∆$ HAB:
$\hat{X} = \hat{H} = 90^{\circ} .$
AD = AB (gt).
$\hat{D A X} + \hat{B A H} = 90^{\circ}$ (vì $\hat{D A B} = 90^{\circ}$ ).
Mà $\hat{A B H} + \hat{B A H} = 90^{\circ}$ ( $∆$ ABH vuông tại H).
=> $\hat{D A X} = \hat{A B H}$ .
=> $∆$ DXA = $∆$ HAB (cạnh huyền - góc nhọn).
=> DX = AH. (1)
- Xét $∆$ EYA và $∆$ HAC:
$\hat{E A Y} + \hat{C A H} = 90^{\circ}$ và $\hat{A C H} + \hat{C A H} = 90^{\circ}$ .
=> $\hat{A C H} + \hat{C A H} = 90^{\circ}$ .
AE = AC (gt).
=> $∆$ EYA = $∆$ HAC (cạnh huyền - góc nhọn).
=> EY = AH. (2)
- Từ (1) và (2) suy ra DX = EY.
- Xét hai tam giác vuông $∆$ DXM và $∆$ EYM:
$\hat{X} = \hat{Y} = 90^{\circ}$ .
DX = EY (cmt).
$\hat{D M X} = \hat{E M Y}$ (đối đỉnh).
=> $∆$ DXM = $∆$ EYM (cạnh góc vuông - góc nhọn).
=> DM = ME.
Vậy M là trung điểm của DE, hay tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

- Vẽ thêm đường phụ: Trên tia đối của tia AH, lấy điểm K sao cho AK = BC
- Xét mối quan hệ giữa các góc, ta có:

$\hat{D A E}$ = $360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \hat{B A C}$ = $180^{\circ} - \hat{B A C}$ .
Vì AH $⊥$ BC, gọi $\hat{B A H} = α$ và $\hat{C A H} = β$ . Khi đó $\hat{B A C} = α + β$ .
- Tuy nhiên, cách dễ hơn là xét góc trong $∆$ ABC: $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180^{\circ} - \hat{B A C}$ .
- Xét $\hat{K A D}$ : Vì AK là đường thẳng chứa độ cao AH, nên $\hat{K A D} + \hat{D A B} + \hat{B A H} = 180^{\circ} .$
=> $\hat{K A D} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \hat{B A H} = 90^{\circ} - \hat{B A H} = \hat{A B H}$ (vì $∆$ ABH vuông tại H).
Tương tự, ta có $\hat{K A E} = \hat{A C H}$ .
- Xét $∆$ KAD và $∆$ BCD: Cách này hơi phức tạp. Hãy quay lại xét trực tiếp $∆$ KAE và $∆$ ABC.
- Thực tế, ta sẽ chứng minh $∆$ ADE = $∆$ KAC là không đúng, mà ta xét $∆$ DAE và $∆$ ABC có mối liên hệ đặc biệt.
- Xét $∆$ DAE và $∆$ KAB:
AD = AB (gt).
AE = AC (gt).
$\hat{D A E} = 180^{\circ} - \hat{B A C}$ (tổng các góc quanh điểm A).
Gọi M là giao điểm của AH và DE. Ta cần chứng minh M là trung điểm DE.
- Kẻ DX $⊥$ AM tại X và EY $⊥$ AM tại Y (AM là đường thẳng AH).
- Xét $∆$ DXA và $∆$ HAB:
$\hat{X} = \hat{H} = 90^{\circ} .$
AD = AB (gt).
$\hat{D A X} + \hat{B A H} = 90^{\circ}$ (vì $\hat{D A B} = 90^{\circ}$ ).
Mà $\hat{A B H} + \hat{B A H} = 90^{\circ}$ ( $∆$ ABH vuông tại H).
=> $\hat{D A X} = \hat{A B H}$ .
=> $∆$ DXA = $∆$ HAB (cạnh huyền - góc nhọn).
=> DX = AH. (1)
- Xét $∆$ EYA và $∆$ HAC:
$\hat{E A Y} + \hat{C A H} = 90^{\circ}$ và $\hat{A C H} + \hat{C A H} = 90^{\circ}$ .
=> $\hat{A C H} + \hat{C A H} = 90^{\circ}$ .
AE = AC (gt).
=> $∆$ EYA = $∆$ HAC (cạnh huyền - góc nhọn).
=> EY = AH. (2)
- Từ (1) và (2) suy ra DX = EY.
- Xét hai tam giác vuông $∆$ DXM và $∆$ EYM:
$\hat{X} = \hat{Y} = 90^{\circ}$ .
DX = EY (cmt).
$\hat{D M X} = \hat{E M Y}$ (đối đỉnh).
=> $∆$ DXM = $∆$ EYM (cạnh góc vuông - góc nhọn).
=> DM = ME.
Vậy M là trung điểm của DE, hay tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE (đpcm).

Answer 3

Đây là một bài toán hình học phẳng rất thú vị, thường xuất hiện trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 hoặc lớp 8. Để chứng minh tia HA đi qua trung điểm của DE, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vẽ thêm hình phụ để tạo ra các tam giác bằng nhau.

1. Phân tích và hình vẽ

Tam giác ABC có các "nhánh" vuông góc đưa ra ngoài là AD⊥AB (AD=AB) và AE⊥AC (AE=AC).
AH⊥BC tại H.
Ta cần chứng minh đường thẳng HA cắt DE tại trung điểm M của DE.

2. Các bước chứng minh chi tiết

Bước 1: Vẽ hình phụ Từ D và E, kẻ các đường vuông góc với đường thẳng AH, lần lượt cắt đường thẳng AH tại P và Q.

DP⊥AH tại P.
EQ⊥AH tại Q.

Bước 2: Chứng minh △ADP=△BAH Ta có:

∠DAP+∠PAB=90∘ (do DP⊥AH).
∠BAH+∠PAB=90∘ (do AD⊥AB, nên ∠DAB=90∘).
⟹∠DAP=∠ABH (cùng phụ với ∠PAB).

Xét hai tam giác vuông ADP và BAH:

Cạnh huyền AD=AB (giả thiết).
∠DAP=∠ABH (chứng minh trên).
⟹△ADP=△BAH (cạnh huyền - góc nhọn).
⟹DP=AH (hai cạnh tương ứng) (1).

Bước 3: Chứng minh △AEQ=△CAH Hoàn toàn tương tự với cặp tam giác này:

∠EAQ+∠QAC=90∘.
∠CAH+∠QAC=90∘ (do AE⊥AC, nên ∠EAC=90∘).
⟹∠EAQ=∠ACH.

Xét hai tam giác vuông AEQ và CAH:

Cạnh huyền AE=AC (giả thiết).
∠EAQ=∠ACH (chứng minh trên).
⟹△AEQ=△CAH (cạnh huyền - góc nhọn).
⟹EQ=AH (hai cạnh tương ứng) (2).

Bước 4: Kết luận Từ (1) và (2), ta có: DP=EQ (vì cùng bằng AH).

Gọi M là giao điểm của HA và DE. Xét hai tam giác vuông DPM và EQM:

∠DPM=∠EQM=90∘.
DP=EQ (chứng minh trên).
∠DMP=∠EMQ (hai góc đối đỉnh).
⟹△DPM=△EQM (cạnh góc vuông - góc nhọn kề).
⟹MD=ME.

Vậy M là trung điểm của DE, hay tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE (đpcm).