Gọi độ dài AH = h. Theo giả thiết, BC = 2h.
- Trong tam giác vuông AHB tại H: $HB=AH.\cot \left(\widehat{B}\right)=h.\cot \left({75}^{\circ }\right).$
Ta biết rằng $\cot \left({75}^{\circ }\right)=2-\sqrt{3}$.
Vậy $HB=h(2-\sqrt{3})$.
- Ta có điểm H nằm trên cạnh BC (vì $\widehat{B}={75}^{\circ }$ là góc nhọn). Khi đó:
HC = BC - HB
$HC=2h-h(2-\sqrt{3})=2h-2h+h\sqrt{3}=h\sqrt{3}$.
- Xét tam giác vuông AHC tại H: $\tan \left(\widehat{C}\right)=\frac{AH}{HC}=\frac{h}{h\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
=> $\widehat{C}={30}^{\circ }.$
- Xét tổng các góc trong tam giác ABC: $\widehat{A}={180}^{\circ }-(\widehat{B}+\widehat{C})={180}^{\circ }-({75}^{\circ }+{30}^{\circ })={75}^{\circ }.$
- Vì $\widehat{A}=\widehat{B}={75}^{\circ }$, tam giác ABC cân tại C.
Vậy: CA = CB (đpcm).

$\color{blue}{\text{Để chứng minh } CA = CB \text{, ta cần chứng minh } \triangle ABC \text{ cân tại } C \text{, hay nói cách khác là chứng minh } \widehat{B} = \widehat{A} = 75^\circ \text{.}}$

$\color{blue}{\text{1. Giả thiết và Hình vẽ}}$
$\color{blue}{\triangle ABC \text{ có } \widehat{B} = 75^\circ\text{.}}$
$\color{blue}{AH \perp BC \text{ tại } H\text{.}}$
$\color{blue}{AH = \frac{BC}{2} \implies BC = 2AH\text{.}}$

$\color{blue}{\text{2. Các bước chứng minh}}$
$\color{blue}{\text{Gọi } M \text{ là trung điểm của } BC\text{. Khi đó } BM = MC = \frac{BC}{2}\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Theo giả thiết } AH = \frac{BC}{2}\text{, suy ra } AH = MC = BM\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Trong tam giác vuông } \triangle ABH \text{ (vuông tại } H\text{):}}$

$\color{blue}{BH = AH \cdot \cot(B) = AH \cdot \cot(75^\circ)\text{.}}$
$\color{blue}{\text{Ta biết } \cot(75^\circ) = 2 - \sqrt{3}\text{.}}$
$\color{blue}{\implies BH = AH(2 - \sqrt{3})\text{.}}$
$\color{blue}{\text{Ta tính độ dài đoạn } HC\text{:}}$

$\color{blue}{HC = BC - BH = 2AH - AH(2 - \sqrt{3})}$
$\color{blue}{HC = AH(2 - 2 + \sqrt{3}) = AH\sqrt{3}}$
$\color{blue}{\text{Xét tam giác vuông } \triangle AHC \text{ (vuông tại } H\text{):}}$

$\color{blue}{\tan(C) = \frac{AH}{HC} = \frac{AH}{AH\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$\color{blue}{\implies \widehat{C} = 30^\circ}$
$\color{blue}{\text{Trong } \triangle ABC \text{, tổng ba góc bằng } 180^\circ \text{:}}$

$\color{blue}{\widehat{A} = 180^\circ - (\widehat{B} + \widehat{C})}$
$\color{blue}{\widehat{A} = 180^\circ - (75^\circ + 30^\circ) = 75^\circ}$

$\color{blue}{\text{3. Kết luận}}$
$\color{blue}{\text{Tam giác } ABC \text{ có } \widehat{A} = 75^\circ \text{ và } \widehat{B} = 75^\circ\text{.}}$

$\color{blue}{\implies \widehat{A} = \widehat{B}}$

$\color{blue}{\implies \triangle ABC \text{ cân tại } C\text{.}}$

$\color{blue}{\implies CA = CB \text{ (điều phải chứng minh).}}$