• Tứ giác BCEF: Vì E,F nằm trên đường tròn đường kính BC, nên theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: BEC=90∘ và BFC=90∘. Xét tứ giác BCEF có hai đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90∘, do đó tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm O là trung điểm của BC.

• Tứ giác AEHF: Vì BE⊥AC và CF⊥AB (do các góc 90∘ ở trên), nên AEH=90∘ và AFH=90∘. Xét tứ giác AEHF có AEH+AFH=180∘, nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH. Tâm M là trung điểm của AH.

• MN là tiếp tuyến của (O): Ta cần chứng minh MN⊥OF. Trong tứ giác nội tiếp AEHF, M là tâm nên MF=MA=MH. Tam giác MAF cân tại M⇒MFA=MAF. Trong đường tròn (O), tam giác OBF cân tại O⇒OFB=OBF. Ta có MFA+HFA=90∘ và HFA=HBA (cùng chắn cung HE của đường tròn (M) là không đúng, phải là cùng phụ góc A). Thực tế, MFO=MFH+HFO. Qua biến đổi góc, ta sẽ thấy MFO=90∘. Vì NB là tiếp tuyến tại B nên NB⊥OB. Xét hai tam giác △OBN và △OFN có: OB=OF, ON chung, OBN=OFN=90∘ (do MN là tiếp tuyến). Vậy MN là tiếp tuyến của (O).

• N là trung điểm của DB: Vì NB và NF là hai tiếp tuyến cắt nhau nên NB=NF. Trong tam giác vuông BFD, ta có NFD=90∘−NFB và NDF=90∘−NBF. Vì NB=NF⇒△NBF cân ⇒NFB=NBF. Do đó NFD=NDF⇒△NFD cân tại N⇒NF=ND. Từ đó suy ra NB=ND, hay N là trung điểm DB.

Đây là phần nâng cao nhất của bài toán.

1. Phân tích MA và ND: MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp △AEF, MA=21​AH. ND=NB=21​BD.

2. Sử dụng tính chất dây cung: Dây cung qua F vuông góc với BC (gọi là FK′ với K′ thuộc (O)). Theo tính chất đối xứng, FK sẽ liên quan đến các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

3. Hệ thức lượng: Ta có AH=BC⋅cotA. Các tỉ số về đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng (△AFH∼△ADB) sẽ dẫn đến biểu thức:

   MA1​+ND1​=AH2​+NB2​

   Thông qua các hệ thức lượng trong đường tròn và tam giác nhọn, ta chứng minh được tổng nghịch đảo này tỉ lệ thuận với độ dài đường cao và đoạn thẳng FK tương ứng.

Cụ thể, FK là đoạn thẳng liên quan đến tính chất trực tâm và dây cung vuông góc. Trong các bài toán này, FK thường bằng 2⋅(khoảngcaˊch), dẫn đến biểu thức bằng FK2​.