Câu 1: Bài toán chuyển động
Đổi đơn vị: 3 phút = $\frac{3}{60}$ giờ = $\frac{1}{20}$ giờ.
- Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h). Điều kiện: x > 0.
Thời gian dự định đi hết quãng đường là: $\frac{120}{x}$ (giờ).
Nửa quãng đường đầu dài 60 km, xe đi với vận tốc dự định hết: $\frac{60}{x}$ (giờ).
Nửa quãng đường sau dài 60 km, xe tăng tốc nên vận tốc thực tế là: x + 2 (km/h).
Thời gian thực tế đi nửa quãng đường sau là: $\frac{60}{x+2}$ (giờ).
Lập phương trình: Vì xe đến B đúng hạn dù phải dừng nghỉ 3 phút, ta có phương trình:$\frac{60}{x}+\frac{1}{20}+\frac{60}{x+2}=\frac{120}{x}$

=>  $\frac{60}{x+2}+\frac{1}{20}=\frac{120}{x}-\frac{60}{x}\iff \frac{60}{x+2}+\frac{1}{20}=\frac{60}{x}$

$\iff \frac{1}{20}=\frac{60}{x}-\frac{60}{x+2}\iff \frac{1}{20}=\frac{60(x+2)-60x}{x(x+2)}$
$\iff \frac{1}{20}=\frac{120}{x^2+2x} \Rightarrow x^2+2x-2400=0$
=> Giải phương trình bậc hai trên, ta được x₁ = 48 (thỏa mãn) và x₂ = -50 (loại).
Đáp số: Vận tốc dự định là 48 km/h.

Câu 2: Bài toán năng suất
Gọi ẩn: Gọi số sản phẩm mỗi ngày nhóm thợ phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm/ngày). Điều kiện: x $\in$N^*.
- Thời gian dự định hoàn thành:$\frac{3000}{x}$ (ngày).
- Trong 8 ngày đầu, số sản phẩm làm được là: 8x (sản phẩm).
- Số sản phẩm còn lại: 3000 - 8x (sản phẩm).
- Năng suất thực tế những ngày sau: x + 10 (sản phẩm/ngày).
- Thời gian thực tế làm số sản phẩm còn lại: $\frac{3000-8x}{x+10}$ (ngày).
- Vì hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày, ta có phương trình: $8+\frac{3000-8x}{x+10}=\frac{3000}{x}-2$
=>  $10+\frac{3000-8x}{x+10}=\frac{3000}{x}\iff \frac{10(x+10)+3000-8x}{x+10}=\frac{3000}{x}$

$\iff \frac{2x+3100}{x+10}=\frac{3000}{x}\iff 2x^2+3100x=3000x+30000$
$\iff 2x^2+100x-30000=0\iff x^2+50x-15000=0$
 => Giải phương trình ta được x₁ = 100 (thỏa mãn) và x₂ = -150 (loại).
Đáp số: Kế hoạch mỗi ngày sản xuất 100 sản phẩm.

Câu 3: Bài toán hình học
- Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là x (m). Điều kiện: x > 5.
- Chiều rộng ban đầu là: $\frac{2}{3}x$(m).
- Diện tích ban đầu là: $x\cdot \frac{2}{3}x=\frac{2}{3}{x}^2$ (m²).
- Chiều dài mới: x - 5 (m).
- Chiều rộng mới: $\frac{2}{3}x-5$ (m).
Diện tích mới giảm 16%, tức là bằng 84% diện tích cũ: $\frac{2}{3}{x}^2\times 84\%=0,56x^2$.
=> Ta có phương trình: $(x-5)(\frac{2}{3}x-5)=0,56x^2$
=>  $\frac{2}{3}{x}^2-5x-\frac{10}{3}x+25=0,56x^2\iff (\frac{2}{3}-0,56)x^2-\frac{25}{3}x+25=0$
$\iff \frac{8}{75}{x}^2-\frac{25}{3}x+25=0\iff 8x^2-625x+1875=0$
=> Giải phương trình ta được x₁ = 75 (thỏa mãn) và x₂ = 3,125 (loại).
=> Với x = 75, diện tích ban đầu là: $\frac{2}{3}\cdot {75}^2=3750$ (m²).
Đáp số: 3750 m².

Câu 4: Bài toán tối ưu (Hàm số bậc hai)
- Giá thuê phòng sau khi tăng: $480\cdot (1+\frac{x}{100})$ (nghìn đồng).
- Số phòng cho thuê thực tế: $100\cdot (1-\frac{4}{5}\cdot \frac{x}{100})=100-0,8x$ (phòng).
=>  Doanh thu y = (480 + 4,8x)(100 - 0,8x)
=> $y=48000-384x+480x-3,84x^2=-3,84x^2+96x+48000$
- Đây là hàm số bậc hai với hệ số a = -3,84 < 0, nên đồ thị là một Parabol có đỉnh là điểm cực đại.
=> Giá trị x để doanh thu cao nhất là: x = $-\frac{b}{2a} = -\frac{96}{2\times (-3.84)} = 12,5$.
=>  Giá phòng mới = 480 $\times$ (1 + 12,5%) = 480$\times$1,125 = 540 (nghìn đồng).
Đáp số: Khách sạn nên niêm yết giá 540.000 đồng.

$\color{blue}{\text{Câu 1: Bài toán chuyển động}}$
$\color{blue}{\text{Gọi vận tốc dự định của ô tô là } v \text{ (km/h, } v > 0\text{).}}$

$\color{blue}{\text{Thời gian dự định đi hết quãng đường là: } \frac{120}{v} \text{ (giờ).}}$

$\color{blue}{\text{Nửa quãng đường đầu (60 km) xe đi với vận tốc } v \text{, thời gian là: } \frac{60}{v} \text{.}}$
$\color{blue}{\text{Thời gian dừng chờ xe hỏa: } 3 \text{ phút} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \text{ (giờ).}}$
$\color{blue}{\text{Nửa quãng đường sau (60 km) xe đi với vận tốc } v + 2 \text{, thời gian là: } \frac{60}{v+2} \text{.}}$
$\color{blue}{\text{Vì xe đến B đúng hạn, ta có phương trình:}}$

$\color{blue}{\frac{60}{v} + \frac{1}{20} + \frac{60}{v+2} = \frac{120}{v}}$
$\color{blue}{\iff \frac{60}{v} - \frac{60}{v+2} = \frac{1}{20} \iff \frac{60(v+2) - 60v}{v(v+2)} = \frac{1}{20}}$
$\color{blue}{\iff \frac{120}{v^2 + 2v} = \frac{1}{20} \implies v^2 + 2v - 2400 = 0}$
$\color{blue}{\text{Giải phương trình bậc hai, ta được: } v = 48 \text{ (thỏa mãn) hoặc } v = -50 \text{ (loại).}}$

$\color{blue}{\text{Đáp số: Vận tốc dự định là 48 km/h.}}$

$\color{blue}{\text{Câu 2: Bài toán năng suất}}$
$\color{blue}{\text{Gọi số sản phẩm làm theo kế hoạch mỗi ngày là } x \text{ (sản phẩm/ngày, } x \in \mathbb{N}^*\text{).}}$

$\color{blue}{\text{Thời gian dự định hoàn thành: } \frac{3000}{x} \text{ (ngày).}}$

$\color{blue}{\text{8 ngày đầu làm được: } 8x \text{ (sản phẩm).}}$
$\color{blue}{\text{Số sản phẩm còn lại: } 3000 - 8x \text{.}}$
$\color{blue}{\text{Năng suất những ngày sau: } x + 10 \text{.}}$
$\color{blue}{\text{Thời gian làm số sản phẩm còn lại: } \frac{3000 - 8x}{x+10} \text{.}}$
$\color{blue}{\text{Vì hoàn thành sớm 2 ngày, ta có phương trình:}}$

$\color{blue}{8 + \frac{3000 - 8x}{x+10} = \frac{3000}{x} - 2 \iff \frac{3000 - 8x}{x+10} = \frac{3000 - 10x}{x}}$
$\color{blue}{\iff 3000x - 8x^2 = (3000 - 10x)(x + 10)}$
$\color{blue}{\iff 3000x - 8x^2 = 3000x + 30000 - 10x^2 - 100x}$
$\color{blue}{\iff 2x^2 + 100x - 30000 = 0 \iff x^2 + 50x - 15000 = 0}$
$\color{blue}{\text{Giải phương trình ta được: } x = 100 \text{ (thỏa mãn) hoặc } x = -150 \text{ (loại).}}$

$\color{blue}{\text{Đáp số: Mỗi ngày sản xuất 100 sản phẩm.}}$

$\color{blue}{\text{Câu 3: Bài toán hình học}}$
$\color{blue}{\text{Gọi chiều dài lúc đầu là } L \text{ (m). Chiều rộng là } \frac{2}{3}L \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Diện tích ban đầu: } S_1 = L \cdot \frac{2}{3}L = \frac{2}{3}L^2 \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Sau khi bớt mỗi cạnh 5m, diện tích mới là:}}$

$\color{blue}{S_2 = (L - 5)(\frac{2}{3}L - 5)}$
 

$\color{blue}{\text{Theo đề bài, diện tích giảm 16%, tức là } S_2 = 84\% S_1\text{:}}$

$\color{blue}{(L - 5)(\frac{2}{3}L - 5) = 0,84 \cdot \frac{2}{3}L^2}$
$\color{blue}{\iff \frac{2}{3}L^2 - 5L - \frac{10}{3}L + 25 = 0,56L^2}$
$\color{blue}{\iff (\frac{2}{3} - 0,56)L^2 - \frac{25}{3}L + 25 = 0 \iff \frac{8}{75}L^2 - \frac{25}{3}L + 25 = 0}$
$\color{blue}{\iff 8L^2 - 625L + 1875 = 0}$
$\color{blue}{\text{Giải phương trình được } L = 75 \text{ (thỏa mãn) hoặc } L = 3,125 \text{ (loại vì chiều rộng phải } > 5\text{).}}$

$\color{blue}{\text{Diện tích lúc đầu: } S = \frac{2}{3} \cdot 75^2 = 3750 \text{ (m}^2\color{blue}{).}}$

$\color{blue}{\text{Đáp số: 3750 m}^2.}$

$\color{blue}{\text{Câu 4: Bài toán cực trị doanh thu}}$
$\color{blue}{\text{Giá phòng mới: } 480 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Số phòng thuê được: } 100 \cdot (1 - \frac{4}{5} \cdot \frac{x}{100}) = 100 - \frac{4}{5}x \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Doanh thu } R\text{:}}$

$\color{blue}{R = 480(1 + \frac{x}{100})(100 - \frac{4}{5}x) = \frac{480}{100}(100 + x)(100 - 0,8x)}$
$\color{blue}{R = 4,8(-0,8x^2 + 20x + 10000)}$
$\color{blue}{\text{Đây là hàm bậc hai có bề lõm hướng xuống, doanh thu cực đại tại đỉnh:}}$

$\color{blue}{x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-0,8)} = 12,5}$
$\color{blue}{\text{Giá phòng niêm yết: } 480 \cdot (1 + 12,5\%) = 480 \cdot 1,125 = 540 \text{ (nghìn đồng).}}$

$\color{blue}{\text{Đáp số: 540 nghìn đồng/phòng.}}$

$\mathbf{\color{red}{\#}\color{orange}{u}\color{yellow}{y}\color{green}{n}\color{blue}{n}\color{indigo}{c}\color{purple}{u}\color{pink}{t}\color{red}{e}\color{orange}{c}\color{yellow}{o}\color{green}{r}\color{blue}{e}}$